Τι είναι η σταθερά του Gelfond;
Η σταθερά του Gelfond είναι το e υψωμένο στη δύναμη π. Η προσεγγιστική της τιμή είναι 23.14069263277927… Η απόδειξη ότι είναι υπερβατική ήταν το 7ο πρόβλημα του Hilbert, που τέθηκε το 1900 ως ένα από τα 23 σημαντικότερα άλυτα ερωτήματα για τον 20ό αιώνα. Ο Alexander Gelfond το έλυσε το 1934.
e^π sits tantalizingly close to 23 but misses by 0.14. The coincidence e^π - π ≈ 19.999 is even closer but equally meaningless.
Το θεώρημα Gelfond-Schneider (1934) δηλώνει: αν το a είναι αλγεβρικό, όχι 0 ή 1, και το b είναι αλγεβρικό και άρρητο, τότε το a^b είναι υπερβατικό. Η σταθερά του Gelfond e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Εδώ a = −1 (αλγεβρικό) και b = −i (αλγεβρικό και άρρητο). Το θεώρημα εφαρμόζεται άμεσα.
| Expression | a | b | Result |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendental |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendental |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendental |
Η αριθμητική παρ' ολίγον σύμπτωση e^π − π ≈ 19.9990999 δεν έχει γνωστή μαθηματική εξήγηση. Είναι πιθανώς σύμπτωση, αλλά παρόμοιες συμπτώσεις (όπως η σταθερά του Ramanujan) μερικές φορές αποδεικνύεται ότι έχουν βαθιές αιτίες. Το e^π έχει υπολογιστεί σε εκατομμύρια δεκαδικά ψηφία: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. This can be proved without a calculator: the function x^(1/x) has a maximum at x=e, so e^(1/e) > π^(1/π), which gives e^π > π^e.
Η σταθερά του Gelfond e^pi ≈ 23.14069. Η απόδειξη ότι είναι υπερβατική ήταν το 7ο πρόβλημα του Hilbert (1900). Ο Gelfond το έλυσε το 1934: αν το a είναι αλγεβρικό (όχι 0 ή 1) και το b είναι αλγεβρικό και άρρητο, τότε το a^b είναι υπερβατικό. Αφού e^pi = (-1)^(-i), και τα -1 και -i είναι αλγεβρικά με το -i άρρητο, το θεώρημα εφαρμόζεται. Η παρ' ολίγον σύμπτωση e^pi - pi ≈ 19.999 δεν έχει γνωστή μαθηματική εξήγηση.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
