Co je Gelfondova konstanta?
Gelfondova konstanta je e umocněné na π. Její přibližná hodnota je 23.14069263277927… Důkaz její transcendentnosti byl Hilbertovým 7. problémem, položeným v roce 1900 jako jeden z 23 nejdůležitějších nevyřešených otázek pro 20. století. Alexander Gelfond ho vyřešil v roce 1934.
e^π sits tantalizingly close to 23 but misses by 0.14. The coincidence e^π - π ≈ 19.999 is even closer but equally meaningless.
Gelfondova-Schneiderova věta (1934) uvádí: pokud je a algebraické, ne 0 ani 1, a b je algebraické i iracionální, pak a^b je transcendentní. Gelfondova konstanta e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Zde a = −1 (algebraické) a b = −i (algebraické a iracionální). Věta se aplikuje přímo.
| Expression | a | b | Result |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendental |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendental |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendental |
Numerický téměř-přesah e^π − π ≈ 19.9990999 nemá známé matematické vysvětlení. Pravděpodobně jde o náhodu, ale podobné náhody (jako Ramanujanova konstanta) se někdy ukazují mít hluboké důvody. e^π bylo vypočítáno na miliony desetinných míst: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. This can be proved without a calculator: the function x^(1/x) has a maximum at x=e, so e^(1/e) > π^(1/π), which gives e^π > π^e.
Gelfondova konstanta e^pi ≈ 23.14069. Důkaz její transcendentnosti byl Hilbertovým 7. problémem (1900). Gelfond ho vyřešil v roce 1934: pokud je a algebraické (ne 0 ani 1) a b je algebraické a iracionální, pak a^b je transcendentní. Protože e^pi = (-1)^(-i), a -1 i -i jsou algebraické s -i iracionálním, věta se aplikuje. Blízká shoda e^pi - pi ≈ 19.999 nemá známé matematické vysvětlení.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.
