Cos'è la costante di Gelfond?
La costante di Gelfond è e elevato alla potenza π. Il suo valore approssimato è 23.14069263277927… Dimostrare che è trascendente era il 7° problema di Hilbert, posto nel 1900 come una delle 23 questioni irrisolte più importanti per il XX secolo. Alexander Gelfond lo risolse nel 1934.
e^π sits tantalizingly close to 23 but misses by 0.14. The coincidence e^π - π ≈ 19.999 is even closer but equally meaningless.
Il teorema di Gelfond-Schneider (1934) afferma: se a è algebrico, diverso da 0 e 1, e b è algebrico e irrazionale, allora a^b è trascendente. La costante di Gelfond e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Qui a = −1 (algebrico) e b = −i (algebrico e irrazionale). Il teorema si applica direttamente.
| Expression | a | b | Result |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendental |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendental |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendental |
Il quasi-coincidenza numerica e^π − π ≈ 19.9990999 non ha una spiegazione matematica nota. È probabilmente una coincidenza, ma coincidenze simili (come la costante di Ramanujan) a volte si rivelano avere ragioni profonde. e^π è stato calcolato fino a milioni di cifre decimali: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. This can be proved without a calculator: the function x^(1/x) has a maximum at x=e, so e^(1/e) > π^(1/π), which gives e^π > π^e.
La costante di Gelfond e^pi ≈ 23.14069. Dimostrare che è trascendente era il 7° problema di Hilbert (1900). Gelfond lo risolse nel 1934: se a è algebrico (diverso da 0 o 1) e b è algebrico e irrazionale, allora a^b è trascendente. Poiché e^pi = (-1)^(-i), e -1 e -i sono algebrici con -i irrazionale, il teorema si applica. La quasi-coincidenza e^pi - pi ≈ 19.999 non ha una spiegazione matematica nota.
Pi
Memorizza pi greco, e e 38 costanti matematiche con il metodo del tastierino numerico
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