Що таке стала Гельфонда?
Стала Гельфонда - це e, піднесене до степеня π. Її наближене значення 23.14069263277927… Доведення її трансцендентності було 7-ю проблемою Гільберта, поставленою 1900 року як одне з 23 найважливіших нерозв'язаних питань для 20 століття. Александр Гельфонд розв'язав її 1934 року.
e^π sits tantalizingly close to 23 but misses by 0.14. The coincidence e^π - π ≈ 19.999 is even closer but equally meaningless.
Теорема Гельфонда-Шнайдера (1934) стверджує: якщо a алгебраїчне, не 0 і не 1, а b алгебраїчне та ірраціональне, то a^b трансцендентне. Стала Гельфонда e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Тут a = −1 (алгебраїчне) і b = −i (алгебраїчне та ірраціональне). Теорема застосовна безпосередньо.
| Expression | a | b | Result |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendental |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendental |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendental |
Числове майже-влучання e^π − π ≈ 19.9990999 не має відомого математичного пояснення. Імовірно, це збіг, але подібні збіги (як-от стала Рамануджана) інколи виявляються такими, що мають глибокі причини. e^π обчислено до мільйонів десяткових знаків: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. This can be proved without a calculator: the function x^(1/x) has a maximum at x=e, so e^(1/e) > π^(1/π), which gives e^π > π^e.
Стала Гельфонда e^pi ≈ 23.14069. Доведення її трансцендентності було 7-ю проблемою Гільберта (1900). Гельфонд розв'язав її 1934 року: якщо a алгебраїчне (не 0 і не 1), а b алгебраїчне та ірраціональне, то a^b трансцендентне. Оскільки e^pi = (-1)^(-i), а -1 та -i алгебраїчні з ірраціональним -i, теорема застосовна. Майже-збіг e^pi - pi ≈ 19.999 не має відомого математичного пояснення.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.
