ค่าคงตัวเกลฟอนด์คืออะไร?
ค่าคงตัวเกลฟอนด์คือ e ยกกำลัง π ค่าโดยประมาณของมันคือ 23.14069263277927… การพิสูจน์ว่ามันเป็นจำนวนอดิศัยคือปัญหาที่ 7 ของฮิลแบร์ท ซึ่งตั้งขึ้นในปี 1900 ในฐานะหนึ่งใน 23 คำถามที่ยังไม่มีคำตอบที่สำคัญที่สุดสำหรับศตวรรษที่ 20 Alexander Gelfond แก้มันได้ในปี 1934
e^π sits tantalizingly close to 23 but misses by 0.14. The coincidence e^π - π ≈ 19.999 is even closer but equally meaningless.
ทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์ (1934) ระบุว่า: หาก a เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต ไม่ใช่ 0 หรือ 1 และ b เป็นจำนวนเชิงพีชคณิตและอตรรกยะ ดังนั้น a^b เป็นจำนวนอดิศัย ค่าคงตัวเกลฟอนด์ e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i) ในที่นี้ a = −1 (เชิงพีชคณิต) และ b = −i (เชิงพีชคณิตและอตรรกยะ) ทฤษฎีบทใช้ได้โดยตรง
| Expression | a | b | Result |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendental |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendental |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendental |
ความใกล้เคียงเชิงตัวเลข e^π − π ≈ 19.9990999 ยังไม่มีคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่ทราบ มันน่าจะเป็นเรื่องบังเอิญ แต่ความบังเอิญที่คล้ายกัน (อย่างค่าคงตัวรามานุจัน) บางครั้งกลับมีเหตุผลที่ลึกซึ้ง e^π ถูกคำนวณได้หลายล้านตำแหน่งทศนิยม: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. This can be proved without a calculator: the function x^(1/x) has a maximum at x=e, so e^(1/e) > π^(1/π), which gives e^π > π^e.
ค่าคงตัวเกลฟอนด์ e^pi ≈ 23.14069 การพิสูจน์ว่ามันเป็นจำนวนอดิศัยคือปัญหาที่ 7 ของฮิลแบร์ท (1900) Gelfond แก้มันได้ในปี 1934: หาก a เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต (ไม่ใช่ 0 หรือ 1) และ b เป็นจำนวนเชิงพีชคณิตและอตรรกยะ ดังนั้น a^b เป็นจำนวนอดิศัย เนื่องจาก e^pi = (-1)^(-i) และ -1 กับ -i เป็นจำนวนเชิงพีชคณิตโดยที่ -i เป็นจำนวนอตรรกยะ ทฤษฎีบทจึงใช้ได้ ความบังเอิญที่ใกล้เคียง e^pi - pi ≈ 19.999 ยังไม่มีคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่ทราบ
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
