Apa itu Konstanta Apéry?
ζ(3) adalah nilai fungsi zeta Riemann pada 3: jumlah 1/n³ atas semua bilangan bulat positif. Untuk argumen genap, Euler menemukan bentuk tertutup yang indah: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Untuk argumen ganjil, tidak ada rumus semacam itu. Apakah ζ(3) sama sekali melibatkan π masih belum diketahui.
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
Pada 1978, Roger Apéry mengumumkan bukti bahwa ζ(3) bersifat irasional. Para hadirin bersikap skeptis. Henri Cohen dan matematikawan lain bergegas pulang untuk memeriksanya dengan komputer semalaman. Keesokan paginya mereka memastikan bahwa bukti itu benar. “Itu seperti petir di langit cerah,” kata seorang peserta. Saat itu Apéry berusia 64 tahun.
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
Apakah ζ(3) dapat dinyatakan dalam bentuk π adalah pertanyaan terbuka yang paling menonjol. Semua nilai zeta genap adalah kelipatan rasional dari pangkat π yang sesuai. Nilai zeta ganjil tampaknya hidup di dunia yang berbeda. Diketahui bahwa tak terhingga banyak nilai ganjil ζ(2n+1) bersifat irasional (Rivoal, 2000), tetapi pola pastinya masih misterius. Nilai lengkap: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = bilangan rasional × π^(2k) untuk setiap k genap. Euler membuktikan ini untuk semua nilai genap. Namun ζ(3), ζ(5), ζ(7)... benar-benar berbeda. ζ(3) irasional (Apéry), tetapi tidak ada hubungan yang diketahui dengan π. Bisa jadi ia memang independen dari π.
| Gerade s: exakte Formeln | Ungerade s: Rätsel |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1,20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irasional (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1,03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irasional? unbekannt |
| Alle = rasional × π^s | Keine bekannte π-Verbindung |
Tidak diketahui. Roger Apéry membuktikan pada 1978 bahwa zeta(3) irasional, tetapi apakah ia transendental masih menjadi masalah terbuka. Banyak orang meyakini bahwa ia transendental, tetapi belum ada buktinya.
Dalam elektrodinamika kuantum (koreksi terhadap momen magnet elektron), teori matriks acak, dan entropi model Ising dua dimensi. Ia juga muncul dalam distribusi Fermi–Dirac dan Bose–Einstein dalam mekanika statistik.
Ramanujan menemukan deret yang berkonvergensi cepat untuk zeta(3), termasuk sebuah rumus yang melibatkan 7π³/180 dan jumlah atas suku-suku eksponensial. Buku catatannya memuat puluhan identitas yang berkaitan dengan zeta(3), dan sebagian besar baru dibuktikan beberapa dekade setelah kematiannya.
Bilangan bulat A(n) = jumlah atas k dari C(n,k)^2 C(n+k,k)^2, yang muncul dalam bukti irasionalitas Apéry. Beberapa yang pertama adalah 1, 5, 73, 1445, 33001. Bilangan-bilangan ini memenuhi relasi rekurensi dan tumbuh dengan cara yang memaksa penyebut jumlah parsial 1/n^3 meniadakan faktor-faktor tertentu, sehingga limitnya harus irasional.
Konstanta Apéry ζ(3) adalah jumlah 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Untuk nilai s genap, Euler menemukan bentuk tertutup yang melibatkan π: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90. Untuk nilai ganjil, tidak ada rumus seperti itu yang diketahui. Roger Apéry membuktikan pada 1978, saat berusia 64 tahun, bahwa ζ(3) irasional. Apakah ia transendental atau dapat dinyatakan dengan π masih belum diketahui.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Main sekarang - gratisTanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.
