Cos'è la Costante di Apéry?
ζ(3) è il valore della funzione zeta di Riemann in 3: la somma di 1/n³ su tutti gli interi positivi. Per gli input pari, Euler trovò belle forme chiuse: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Per gli input dispari, non esiste una tale formula. Se ζ(3) coinvolga π in qualche modo è sconosciuto.
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
Nel 1978, Roger Apéry annunciò una prova che ζ(3) è irrazionale. Il pubblico era scettico. Henri Cohen e altri matematici corsero a casa per verificarla sui computer durante la notte. La mattina dopo confermarono che era corretta. "Fu come un tuono a ciel sereno," disse un partecipante. Apéry aveva 64 anni.
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
Se ζ(3) possa essere espresso in termini di π è la principale questione aperta. Tutti i valori zeta pari sono multipli razionali della corrispondente potenza di π. I valori zeta dispari sembrano vivere in un mondo diverso. Infiniti valori dispari ζ(2n+1) sono noti essere irrazionali (Rivoal, 2000), ma lo schema esatto rimane misterioso. Valore completo: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = numero razionale × π^(2k) per tutti i k pari. Euler lo dimostrò per tutti i valori pari. Ma ζ(3), ζ(5), ζ(7)... sono completamente diversi. ζ(3) è irrazionale (Apéry), ma nessuna relazione con π è nota. Potrebbe essere veramente indipendente da π.
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
Sconosciuto. Roger Apéry dimostrò nel 1978 che zeta(3) è irrazionale, ma se sia trascendente rimane un problema aperto. È ampiamente ritenuto trascendente, ma non esiste alcuna prova.
Nell'elettrodinamica quantistica (correzioni al momento magnetico dell'elettrone), nella teoria delle matrici casuali e nell'entropia di un modello di Ising bidimensionale. Appare nelle distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein nella meccanica statistica.
Ramanujan trovò serie rapidamente convergenti per zeta(3), inclusa una formula che coinvolge 7pi^3/180 e somme su esponenziali. I suoi quaderni contenevano dozzine di identità relative a zeta(3), la maggior parte dimostrate solo decenni dopo la sua morte.
Interi A(n) = somma di C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 su k, che appaiono nella prova di irrazionalità di Apéry. I primi sono 1, 5, 73, 1445, 33001. Soddisfano una relazione di ricorrenza e crescono in modo da forzare i denominatori delle somme parziali di 1/n^3 ad annullare fattori specifici, rendendo il limite irrazionale.
La costante di Apéry zeta(3) è la somma 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Per i valori pari di s, Euler trovò forme chiuse che coinvolgono pi: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Per i valori dispari non si conosce una tale formula. Roger Apéry dimostrò che zeta(3) è irrazionale nel 1978 all'età di 64 anni. Se sia trascendente, o esprimibile in termini di pi, rimane sconosciuto.
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