Mi a bázeli probléma?
A bázeli probléma azt kérdezi: mi az 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯ pontos értéke? A sor konvergál, de mihez? Pietro Mengoli vetette fel 1650-ben. 84 éven át minden matematikust megakasztott, amíg Euler meg nem oldotta 1734-ben, 28 éves korában.
Partial sums approach π²/6 ≈ 1.6449 slowly. Euler proved the limit equals π²/6 in 1734, connecting analysis to geometry.
Euler bizonyítása a sin(x)/x Taylor-sorát végtelen szorzatként tényezőkre bontotta a ±π, ±2π, ±3π… gyökei felett. A szorzatalak x² együtthatóját a Taylor-együtthatóval összevetve közvetlenül adódik a Σ 1/n² = π²/6. Ez a matematika egyik leghíresebb számítása, és az, hogy a π itt megjelenik, nem véletlen: a köröknek és gömböknek természetes kapcsolatuk van az egész számok összegeivel a Riemann-féle zéta-függvényen keresztül.
Each term 1/n^2 decreases rapidly. Their sum converges to exactly pi^2/6 ~1.6449.
Az eredmény általánosítható: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, és minden páros zéta-érték a π hatványainak racionális többszöröse. A páratlan értékek, ζ(3), ζ(5), ζ(7)…, sokkal rejtélyesebbek. Apéry 1978-ban bizonyította, hogy a ζ(3) irracionális, de nem ismert zárt alak π-vel.
Annak valószínűsége, hogy két véletlenszerűen választott egész számnak nincs közös osztója (relatív prímek), pontosan 6/pi^2, a pi^2/6 reciproka. Ez körülbelül 60,8%. Ez közvetlenül összekapcsolja a bázeli problémát a számelmélettel és a valószínűségszámítással.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.
