Christoffer De Geer 20 במרץ 2026

מהו קבוע אפרי?

ζ(3) = 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ⋯

ζ(3) ≈ 1.20205690315959428539. אי-רציונלי (אפרי, 1978).

ζ(3) הוא הערך של פונקציית זטא של רימן ב-3: הסכום של 1/n³ על פני כל המספרים השלמים החיוביים. עבור קלטים זוגיים מצא אוילר צורות סגורות יפהפיות: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. עבור קלטים אי-זוגיים לא קיימת נוסחה כזו. השאלה אם ζ(3) כולל את π בכלל נותרה פתוחה.

zeta(2), zeta(3), zeta(4) compared

z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.

בשנת 1978 הכריז רוז'ה אפרי על הוכחה ש-ζ(3) הוא אי-רציונלי. הקהל היה ספקן. אנרי כהן ומתמטיקאים אחרים מיהרו הביתה כדי לבדוק זאת במחשבים במהלך הלילה. עד הבוקר שלמחרת הם אישרו שהיא נכונה. "זה היה כמו רעם בשמיים בהירים", אמר אחד הנוכחים. אפרי היה בן 64.

Partial sums of 1+1/8+1/27+... converging to ζ(3)

The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.

השאלה אם ניתן לבטא את ζ(3) במונחי π היא השאלה הפתוחה הבולטת. כל ערכי זטא הזוגיים הם כפולות רציונליות של החזקה המתאימה של π. ערכי זטא האי-זוגיים נראים כשייכים לעולם אחר. ידוע שאינסוף ערכים אי-זוגיים ζ(2n+1) הם אי-רציונליים (ריבואל, 2000), אך הדפוס המדויק נותר מסתורי. הערך המלא: 1.20205690315959428539973816151144999…

פונקציית זטא של רימן → בעיית באזל → קבוע קטלן → הטור ההרמוני → קבוע רמנוג'ן →

מספרים שלמים זוגיים: כפולות רציונליות של חזקות של π. מספרים שלמים אי-זוגיים: לא ידוע.

ζ(2k) = מספר רציונלי × π^(2k) עבור כל k זוגי. אוילר הוכיח זאת עבור כל הערכים הזוגיים. אך ζ(3), ζ(5), ζ(7)... שונים לחלוטין. ζ(3) הוא אי-רציונלי (אפרי), אך לא ידוע שום קשר אל π. ייתכן שהוא בלתי תלוי באמת ב-π.

Even integers: rational multiples of powers of π. Odd integers: unknown.

Table showing zeta at even integers known as pi fractions but odd integers unknown
Even s: exact formulas	Odd s: mystery
ζ(2) = π²/6	ζ(3) = 1.20206...
ζ(4) = π⁴/90	irrational (Apéry 1978)
ζ(6) = π⁶/945	ζ(5) = 1.03693...
ζ(8) = π⁸/9450	irrational? unknown
All = rational × π^s	No π connection known

האם zeta(3) הוא טרנסצנדנטי?

לא ידוע. רוז'ה אפרי הוכיח ב-1978 ש-zeta(3) הוא אי-רציונלי, אך השאלה אם הוא טרנסצנדנטי נותרה בעיה פתוחה. רווחת האמונה שהוא טרנסצנדנטי, אך לא קיימת הוכחה.

היכן מופיע zeta(3) בפיזיקה?

באלקטרודינמיקה קוונטית (תיקונים למומנט המגנטי של האלקטרון), בתורת המטריצות האקראיות, ובאנטרופיה של מודל איזינג דו-ממדי. הוא מופיע בהתפלגויות פרמי-דיראק ובוז-איינשטיין במכניקה סטטיסטית.

רמנוג'ן ו-zeta(3)

רמנוג'ן מצא טורים מתכנסים במהירות עבור zeta(3), כולל נוסחה הכוללת את 7pi^3/180 וסכומים על פני אקספוננטים. מחברותיו הכילו עשרות זהויות הקשורות ל-zeta(3), שרובן הוכחו רק עשרות שנים לאחר מותו.

מהם מספרי אפרי?

מספרים שלמים A(n) = סכום של C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 על פני k, המופיעים בהוכחת האי-רציונליות של אפרי. הראשונים הם 1, 5, 73, 1445, 33001. הם מקיימים יחס נסיגה וגדלים באופן שמכריח את המכנים של הסכומים החלקיים של 1/n^3 לבטל גורמים מסוימים, ובכך הופך את הגבול לאי-רציונלי.

עובדות מפתח על קבוע אפרי

קבוע אפרי zeta(3) הוא הסכום 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. עבור ערכים זוגיים של s מצא אוילר צורות סגורות הכוללות את pi: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. עבור ערכים אי-זוגיים לא ידועה נוסחה כזו. רוז'ה אפרי הוכיח ש-zeta(3) הוא אי-רציונלי ב-1978 בגיל 64. השאלות אם הוא טרנסצנדנטי, או ניתן לביטוי במונחי pi, נותרו פתוחות.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

מהם מספרי אפרי?

tap · space

1 / 10

מוכנים לשחק?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

שחקו עכשיו - בחינם

ללא חשבון. עובד בכל מכשיר.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.