Co je Apéryho konstanta?
ζ(3) je hodnota Riemannovy zeta funkce v 3: součet 1/n³ přes všechna kladná celá čísla. Pro sudé vstupy Euler našel krásné uzavřené tvary: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Pro liché vstupy takový vzorec neexistuje. Zda ζ(3) vůbec zahrnuje π, je neznámé.
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
V roce 1978 Roger Apéry oznámil důkaz, že ζ(3) je iracionální. Poslech byl skeptický. Henri Cohen a další matematikové se vrhli domů, aby to ověřili na počítačích přes noc. Ráno potvrdili, že je to správné. "Bylo to jako hrom v jasném nebi," řekl jeden účastník. Apéry bylo 64 let.
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
Zda lze ζ(3) vyjádřit pomocí π, je stále otevřenou otázkou. Všechny sudé hodnoty zeta jsou racionální násobky odpovídající mocniny π. Liché hodnoty zeta se zdají žít v jiném světě. Je známo, že nekonečně mnoho lichých hodnot ζ(2n+1) je iracionálních (Rivoal, 2000), ale přesný vzor zůstává záhadný. Plná hodnota: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = racionální číslo × π^(2k) pro všechna sudá k. Euler to dokázal pro všechna sudá hodnoty. Ale ζ(3), ζ(5), ζ(7)... jsou zcela jiné. ζ(3) je iracionální (Apéry), ale žádná relace k π není známa. Může být zcela nezávislá na π.
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
Neznámo. Roger Apéry dokázal v roce 1978, že zeta(3) je iracionální, ale zda je transcendentní, zůstává otevřeným problémem. Je široce věřeno, že je transcendentní, ale důkaz neexistuje.
V kvantové elektrodynamice (korekce k magnetickému momentu elektronu), teorii náhodných matic a entropii dvourozměrného Isingova modelu. Objevuje se ve Fermi-Diracových a Bose-Einsteinových distribucích v statistické mechanice.
Ramanujan našel rychle konvergující řady pro zeta(3), včetně vzorce zahrnující 7pi^3/180 a sumy přes exponenciály. Jeho poznámkové bloky obsahovaly desítky identit souvisejících s zeta(3), většina byla dokázána až desítky let po jeho smrti.
Celé čísla A(n) = součet C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 přes k, která se vyskytují v Apéryho důkazu iracionality. Prvních několik je 1, 5, 73, 1445, 33001. Splňují rekurzivní relaci a rostou tak, že vynutí zrušení specifických faktorů v jmenovatelích částečných sum 1/n^3, čímž se limit stane iracionální.
Apéryho konstanta zeta(3) je součet 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Pro sudé hodnoty s Euler našel uzavřené tvary zahrnující pi: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Pro liché hodnoty takový vzorec není znám. Roger Apéry dokázal, že zeta(3) je iracionální v roce 1978 ve věku 64 let. Zda je transcendentní, nebo vyjádřitelná pomocí pi, zůstává neznámé.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.
