Що таке стала Апері?
ζ(3) - це значення дзета-функції Рімана в точці 3: сума 1/n³ за всіма натуральними числами. Для парних входів Ейлер знайшов прекрасні замкнені форми: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Для непарних входів такої формули не існує. Чи задіяна в ζ(3) взагалі π, невідомо.
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
1978 року Роже Апері оголосив доведення того, що ζ(3) ірраціональна. Аудиторія була скептичною. Анрі Коен та інші математики помчали додому, щоб уночі перевірити це на комп'ютерах. Наступного ранку вони підтвердили його правильність. "Це було як грім серед ясного неба", - сказав один із присутніх. Апері було 64 роки.
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
Чи можна виразити ζ(3) через π - це визначна відкрита проблема. Усі парні значення дзета є раціональними кратними відповідного степеня π. Непарні значення дзета, схоже, живуть в іншому світі. Відомо, що нескінченно багато непарних значень ζ(2n+1) ірраціональні (Ріваль, 2000), але точна закономірність залишається загадковою. Повне значення: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = раціональне число × π^(2k) для всіх парних k. Ейлер довів це для всіх парних значень. Але ζ(3), ζ(5), ζ(7)... зовсім інші. ζ(3) ірраціональна (Апері), але жодного зв'язку з π не відомо. Можливо, вона справді незалежна від π.
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
Невідомо. Роже Апері довів 1978 року, що zeta(3) ірраціональна, але чи трансцендентна вона, залишається відкритою проблемою. Широко вважають, що вона трансцендентна, але доведення не існує.
У квантовій електродинаміці (поправки до магнітного моменту електрона), теорії випадкових матриць та ентропії двовимірної моделі Ізінга. Вона з'являється в розподілах Фермі-Дірака та Бозе-Айнштайна у статистичній механіці.
Рамануджан знайшов швидко збіжні ряди для zeta(3), зокрема формулу із 7pi^3/180 та сумами за експонентами. Його записники містили десятки тотожностей, пов'язаних із zeta(3), більшість із яких доведено лише через десятиліття після його смерті.
Цілі числа A(n) = сума C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 за k, які з'являються в доведенні ірраціональності Апері. Перші з них - 1, 5, 73, 1445, 33001. Вони задовольняють рекурентне співвідношення і зростають так, що змушують знаменники часткових сум 1/n^3 скорочувати певні множники, роблячи границю ірраціональною.
Стала Апері zeta(3) - це сума 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Для парних значень s Ейлер знайшов замкнені форми з pi: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Для непарних значень такої формули не відомо. Роже Апері довів, що zeta(3) ірраціональна, 1978 року у віці 64 років. Чи трансцендентна вона і чи виражається через pi, залишається невідомим.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.
