Ce este constanta lui Apéry?
ζ(3) este valoarea funcției zeta a lui Riemann în 3: suma 1/n³ peste toate numerele întregi pozitive. Pentru argumente pare, Euler a găsit forme închise frumoase: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Pentru argumente impare, nu există o astfel de formulă. Dacă ζ(3) implică deloc π este necunoscut.
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
În 1978, Roger Apéry a anunțat o demonstrație că ζ(3) este irațională. Publicul a fost sceptic. Henri Cohen și alți matematicieni s-au grăbit acasă pentru a o verifica peste noapte pe calculatoare. A doua zi dimineața au confirmat că era corectă. "A fost ca un tunet pe cer senin", a spus un participant. Apéry avea 64 de ani.
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
Dacă ζ(3) poate fi exprimată în termeni de π este marea întrebare deschisă. Toate valorile zeta pare sunt multipli raționali ai puterii corespunzătoare a lui π. Valorile zeta impare par să trăiască într-o lume diferită. Se știe că infinit de multe valori impare ζ(2n+1) sunt iraționale (Rivoal, 2000), dar tiparul exact rămâne misterios. Valoarea completă: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = număr rațional × π^(2k) pentru toate k pare. Euler a demonstrat acest lucru pentru toate valorile pare. Dar ζ(3), ζ(5), ζ(7)... sunt complet diferite. ζ(3) este irațională (Apéry), dar nu se cunoaște nicio relație cu π. Ar putea fi cu adevărat independentă de π.
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
Necunoscut. Roger Apéry a demonstrat în 1978 că zeta(3) este irațională, dar dacă este transcendentă rămâne o problemă deschisă. Se crede pe scară largă că este transcendentă, dar nu există nicio demonstrație.
În electrodinamica cuantică (corecții la momentul magnetic al electronului), teoria matricelor aleatoare și entropia unui model Ising bidimensional. Apare în distribuțiile Fermi-Dirac și Bose-Einstein din mecanica statistică.
Ramanujan a găsit serii rapid convergente pentru zeta(3), inclusiv o formulă care implică 7pi^3/180 și sume peste exponențiale. Caietele sale conțineau zeci de identități legate de zeta(3), majoritatea demonstrate abia la decenii după moartea sa.
Numere întregi A(n) = suma C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 peste k, care apar în demonstrația iraționalității a lui Apéry. Primele câteva sunt 1, 5, 73, 1445, 33001. Ele satisfac o relație de recurență și cresc într-un mod care forțează numitorii sumelor parțiale ale 1/n^3 să anuleze factori specifici, făcând limita irațională.
Constanta lui Apéry zeta(3) este suma 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Pentru valori pare ale lui s, Euler a găsit forme închise care implică pi: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Pentru valori impare nu se cunoaște nicio astfel de formulă. Roger Apéry a demonstrat că zeta(3) este irațională în 1978, la vârsta de 64 de ani. Dacă este transcendentă sau exprimabilă în termeni de pi rămâne necunoscut.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Joacă acum - e gratisFără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.
