ค่าคงตัวอาเปรีคืออะไร?
ζ(3) คือค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่ 3 นั่นคือผลรวมของ 1/n³ เหนือจำนวนเต็มบวกทั้งหมด สำหรับค่าอินพุตที่เป็นจำนวนคู่ ออยเลอร์พบรูปแบบปิดที่งดงาม: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945 แต่สำหรับอินพุตที่เป็นจำนวนคี่ ไม่มีสูตรเช่นนั้น และไม่มีใครรู้ว่า ζ(3) เกี่ยวข้องกับ π เลยหรือไม่
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
ในปี 1978 Roger Apéry ประกาศบทพิสูจน์ว่า ζ(3) เป็นจำนวนอตรรกยะ ผู้ฟังต่างกังขา Henri Cohen และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ รีบกลับบ้านเพื่อตรวจสอบมันด้วยคอมพิวเตอร์ตลอดทั้งคืน พอถึงเช้าวันรุ่งขึ้นพวกเขายืนยันว่ามันถูกต้อง "มันเหมือนฟ้าผ่ากลางท้องฟ้าแจ่มใส" ผู้เข้าร่วมคนหนึ่งกล่าว ตอนนั้น Apéry อายุ 64 ปี
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
คำถามว่า ζ(3) สามารถเขียนในรูปของ π ได้หรือไม่ คือปัญหาเปิดที่โดดเด่น ค่าซีตาของจำนวนคู่ทั้งหมดเป็นพหุคูณตรรกยะของกำลังที่สอดคล้องของ π ส่วนค่าซีตาของจำนวนคี่ดูเหมือนจะอยู่ในอีกโลกหนึ่ง เป็นที่ทราบกันว่าค่าของจำนวนคี่ ζ(2n+1) มีจำนวนอนันต์ที่เป็นจำนวนอตรรกยะ (Rivoal, 2000) แต่รูปแบบที่แน่นอนยังคงเป็นปริศนา ค่าเต็ม: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = จำนวนตรรกยะ × π^(2k) สำหรับทุกค่า k ที่เป็นจำนวนคู่ ออยเลอร์พิสูจน์เรื่องนี้สำหรับค่าคู่ทั้งหมด แต่ ζ(3), ζ(5), ζ(7)... แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ζ(3) เป็นจำนวนอตรรกยะ (Apéry) แต่ไม่มีใครรู้ความสัมพันธ์กับ π มันอาจเป็นอิสระจาก π อย่างแท้จริง
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
ไม่ทราบ Roger Apery พิสูจน์ในปี 1978 ว่า zeta(3) เป็นจำนวนอตรรกยะ แต่คำถามว่ามันเป็นจำนวนอดิศัยหรือไม่ยังคงเป็นปัญหาเปิด เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่ามันเป็นจำนวนอดิศัย แต่ไม่มีบทพิสูจน์
ในพลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัม (การแก้ไขโมเมนต์แม่เหล็กของอิเล็กตรอน), ทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม, และเอนโทรปีของแบบจำลองไอซิงสองมิติ มันปรากฏในการแจกแจงแฟร์มี-ดิแรกและโบส-ไอน์สไตน์ในกลศาสตร์เชิงสถิติ
รามานุจันค้นพบอนุกรมที่ลู่เข้าอย่างรวดเร็วสำหรับ zeta(3) รวมถึงสูตรที่เกี่ยวข้องกับ 7pi^3/180 และผลรวมเหนือเลขชี้กำลัง สมุดบันทึกของเขามีเอกลักษณ์หลายสิบรายการที่เกี่ยวข้องกับ zeta(3) ซึ่งส่วนใหญ่พิสูจน์ได้หลายทศวรรษหลังจากที่เขาเสียชีวิตไปแล้ว
จำนวนเต็ม A(n) = ผลรวมของ C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 เหนือ k ซึ่งปรากฏในบทพิสูจน์ความอตรรกยะของอาเปรี ตัวแรก ๆ ได้แก่ 1, 5, 73, 1445, 33001 พวกมันเป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิดและเติบโตในลักษณะที่บังคับให้ตัวส่วนของผลรวมย่อยของ 1/n^3 ตัดทอนตัวประกอบเฉพาะออกไป ทำให้ลิมิตเป็นจำนวนอตรรกยะ
ค่าคงตัวอาเปรี zeta(3) คือผลรวม 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959 สำหรับค่า s ที่เป็นจำนวนคู่ ออยเลอร์พบรูปแบบปิดที่เกี่ยวข้องกับ pi: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90 สำหรับค่าคี่ไม่มีใครรู้สูตรเช่นนั้น Roger Apery พิสูจน์ว่า zeta(3) เป็นจำนวนอตรรกยะในปี 1978 ตอนอายุ 64 ปี คำถามว่ามันเป็นจำนวนอดิศัยหรือเขียนในรูปของ pi ได้หรือไม่ ยังคงไม่มีคำตอบ
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
