Τι είναι η σταθερά του Apéry;
Η ζ(3) είναι η τιμή της συνάρτησης ζήτα του Riemann στο 3: το άθροισμα των 1/n³ για όλους τους θετικούς ακεραίους. Για άρτιες τιμές, ο Euler βρήκε όμορφες κλειστές μορφές: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Για περιττές τιμές, δεν υπάρχει τέτοιος τύπος. Το αν η ζ(3) σχετίζεται καθόλου με το π είναι άγνωστο.
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
Το 1978, ο Roger Apéry ανακοίνωσε μια απόδειξη ότι η ζ(3) είναι άρρητη. Το ακροατήριο ήταν δύσπιστο. Ο Henri Cohen και άλλοι μαθηματικοί έτρεξαν στα σπίτια τους για να την ελέγξουν στους υπολογιστές μέσα στη νύχτα. Το επόμενο πρωί επιβεβαίωσαν ότι ήταν σωστή. «Ήταν σαν κεραυνός εν αιθρία», είπε ένας παρευρισκόμενος. Ο Apéry ήταν 64 ετών.
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
Το αν η ζ(3) μπορεί να εκφραστεί ως προς το π είναι το σημαντικότερο ανοιχτό ερώτημα. Όλες οι άρτιες τιμές ζήτα είναι ρητά πολλαπλάσια της αντίστοιχης δύναμης του π. Οι περιττές τιμές ζήτα φαίνεται να ζουν σε έναν διαφορετικό κόσμο. Είναι γνωστό ότι άπειρες περιττές τιμές ζ(2n+1) είναι άρρητες (Rivoal, 2000), αλλά το ακριβές μοτίβο παραμένει μυστηριώδες. Πλήρης τιμή: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = ρητός αριθμός × π^(2k) για κάθε άρτιο k. Ο Euler το απέδειξε για όλες τις άρτιες τιμές. Όμως οι ζ(3), ζ(5), ζ(7)... είναι εντελώς διαφορετικές. Η ζ(3) είναι άρρητη (Apéry), αλλά δεν είναι γνωστή καμία σχέση με το π. Μπορεί να είναι πραγματικά ανεξάρτητη από το π.
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
Άγνωστο. Ο Roger Apéry απέδειξε το 1978 ότι η ζήτα(3) είναι άρρητη, αλλά το αν είναι υπερβατική παραμένει ανοιχτό πρόβλημα. Πιστεύεται ευρέως ότι είναι υπερβατική, αλλά δεν υπάρχει απόδειξη.
Στην κβαντική ηλεκτροδυναμική (διορθώσεις στη μαγνητική ροπή του ηλεκτρονίου), στη θεωρία τυχαίων πινάκων και στην εντροπία ενός διδιάστατου μοντέλου Ising. Εμφανίζεται στις κατανομές Fermi-Dirac και Bose-Einstein στη στατιστική μηχανική.
Ο Ramanujan βρήκε ταχέως συγκλίνουσες σειρές για τη ζήτα(3), συμπεριλαμβανομένου ενός τύπου που περιλαμβάνει 7π³/180 και αθροίσματα εκθετικών. Τα σημειωματάριά του περιείχαν δεκάδες ταυτότητες σχετικές με τη ζήτα(3), οι περισσότερες αποδεδειγμένες μόλις δεκαετίες μετά τον θάνατό του.
Ακέραιοι A(n) = άθροισμα των C(n,k)² C(n+k,k)² ως προς k, που εμφανίζονται στην απόδειξη αρρητότητας του Apéry. Οι πρώτοι είναι 1, 5, 73, 1445, 33001. Ικανοποιούν μια αναδρομική σχέση και αυξάνονται με τρόπο που αναγκάζει τους παρονομαστές των μερικών αθροισμάτων των 1/n³ να απαλείφουν συγκεκριμένους παράγοντες, καθιστώντας το όριο άρρητο.
Η σταθερά του Apéry ζήτα(3) είναι το άθροισμα 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Για άρτιες τιμές του s, ο Euler βρήκε κλειστές μορφές που περιλαμβάνουν το π: ζήτα(2) = π²/6, ζήτα(4) = π⁴/90. Για περιττές τιμές δεν είναι γνωστός κανένας τέτοιος τύπος. Ο Roger Apéry απέδειξε ότι η ζήτα(3) είναι άρρητη το 1978 σε ηλικία 64 ετών. Το αν είναι υπερβατική, ή εκφράσιμη ως προς το π, παραμένει άγνωστο.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
