हार्मोनिक श्रेणी 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ अपसारी है, लेकिन बहुत धीरे-धीरे बढ़ती है। दस लाख पदों के बाद भी यह मुश्किल से 14 तक पहुँचती है। प्राकृतिक लघुगणक ln(n) भी लगभग उसी दर से बढ़ता है। ऑयलर–माशेरोनी नियतांक γ, दोनों के बीच का सटीक अंतर है: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n)।
हार्मोनिक योग और ln(n) का अंतर n → ∞ पर γ ≈ 0.5772 की ओर बढ़ता है। अभिसरण बहुत धीमा है — n = 1000 पर भी अंतर 0.001 है।
γ विश्लेषण और संख्या-सिद्धांत में बार-बार प्रकट होता है। यह हार्मोनिक श्रेणी को रीमान जीटा फलन से जोड़ता है: औपचारिक अर्थ में γ = -ζ'(1)। यह Gamma function में Γ'(1) = -γ के रूप में आता है, अभाज्य अंतरालों के वितरण में, बेसेल फलनों में, और digamma function के asymptotic expansion में भी।
γ परिमेय है या अपरिमेय, यह गणित के सबसे पुराने खुले प्रश्नों में से एक है। लगभग हर गणितज्ञ मानता है कि यह ट्रान्ससेंडेंटल है, लेकिन कोई प्रमाण नहीं है। इसे 600 अरब से अधिक दशमलव स्थानों तक निकाला गया है: 0.57721566490153286060651209008240243…
हार्मोनिक आंशिक योग H(n) (लाल, सीढ़ीनुमा) और ln(n)+γ (नीला, चिकना)। इनके बीच का अंतर 0 की ओर बढ़ता है लेकिन दोलित होता है: H(n)−ln(n) → γ.
ऑयलर–माशेरोनी नियतांक gamma लगभग 0.57721566490153286060 है। यह परिमेय है या अपरिमेय, यह अज्ञात है, और गणित की सबसे प्रसिद्ध खुली समस्याओं में से एक है। ऑयलर ने इसे 1734 में प्रकाशित किया; माशेरोनी ने 1790 में स्वतंत्र रूप से इसकी गणना की। Gamma, Gamma function, Riemann zeta function, अभाज्य गुणनों पर मर्टेन्स प्रमेय, Bessel functions, और prime gaps के वितरण में आता है। क्योंकि इसके लिए कोई streaming algorithm नहीं है, इसके अंक पहले से निकाले और संग्रहीत किए जाते हैं।
ऑयलर–माशेरोनी नियतांक γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the हार्मोनिक-लघुगणक सीमा.