टेलर श्रेणी किसी भी smooth फलन को एक अनंत बहुपद के रूप में व्यक्त करती है। हर गुणांक एक अवकलज होता है: nवाँ पद f⁽ⁿ⁾(a)/n! गुणा (x-a)ⁿ होता है। eˣ, sin(x) और cos(x) जैसे सुव्यवस्थित फलनों के लिए यह श्रेणी हर जगह ठीक उसी फलन के मान पर अभिसरित होती है।
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
तीन सबसे महत्वपूर्ण मैकलॉरिन श्रेणियाँ: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (हर जगह अभिसरित); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (हर जगह अभिसरित); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (हर जगह अभिसरित)। eˣ की श्रेणी में x = iπ रखने पर ऑयलर की सर्वसमिका मिलती है।
Table of Maclaurin series
| f(x) | Reihe | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
ब्रुक टेलर ने 1715 में सामान्य प्रमेय दिया; 0 पर केंद्रित विशेष रूप को कॉलिन मैकलॉरिन ने 1742 में लोकप्रिय बनाया। हर कैलकुलेटर और कंप्यूटर पारातीत फलनों का मान निकालने के लिए टेलर श्रेणियों का उपयोग करता है। n पदों के बाद त्रुटि Lagrange remainder से सीमित होती है: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
टेलर श्रेणी किसी smooth फलन को एक अनंत बहुपद के रूप में दर्शाती है: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... गुणांक केंद्र बिंदु a पर लिए गए अवकलज होते हैं। मैकलॉरिन श्रेणियाँ 0 पर केंद्रित होती हैं। तीन प्रमुख श्रेणियाँ हर जगह अभिसरित होती हैं: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... e^x की श्रेणी में x = i*pi रखने से ऑयलर की सर्वसमिका सिद्ध होती है। हर कैलकुलेटर पारातीत फलनों का मान निकालने के लिए अंदरूनी तौर पर टेलर श्रेणियों का उपयोग करता है।