चैंपरनाउन नियतांक क्या है?

C₁₀ = 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12…
0.12345678910111213141516… ट्रान्ससेंडेंटल (Mahler, 1937). आधार 10 में normal (Champernowne, 1933).

दशमलव बिंदु के बाद सभी धनात्मक पूर्णांकों को क्रम से लिखिए: 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15… यही चैंपरनाउन नियतांक है। इसके दशमलव विस्तार में अंकों का हर सीमित क्रम कहीं न कहीं प्रकट होता है, और k अंकों का हर ब्लॉक ठीक 1/10ᵏ आवृत्ति से आता है।

चैंपरनाउन नियतांक का अंकों द्वारा निर्माण
88.517710%661771771487777776767670123456789

पहले 1000 अंकों में 1 सबसे अधिक दिखाई देता है क्योंकि 1-9, 10-19... जैसी संख्याएँ उसे बढ़ाती हैं। n बढ़ने पर वितरण सामान्य हो जाता है।

D. G. Champernowne ने 1933 में, कैम्ब्रिज में स्नातक छात्र रहते हुए, इस संख्या का निर्माण आधार 10 में normal संख्या का पहला स्पष्ट उदाहरण देने के लिए किया। normal संख्या वह होती है जिसमें k अंकों का हर ब्लॉक 1/10ᵏ आवृत्ति से आता है। Champernowne ने सिद्ध किया कि उनका नियतांक normal है — ऐसा कारनामा π या e जैसी स्वाभाविक नियतांकों के लिए अब तक असंभव है।

चैंपरनाउन नियतांक: अंक-आवृत्तियाँ (पहले 100 अंक)
71410%81411101010101010100123456789

पहले 100 अंकों में अंक 1 कुल 14 बार आता है। जैसे-जैसे अधिक अंक शामिल होते हैं, यह असंतुलन गायब हो जाता है।

1937 में कर्ट महलर ने सिद्ध किया कि C₁₀ ट्रान्ससेंडेंटल है। 0.1234567891011… उन विरल नियतांकों में से है जिन्हें किसी भी परिशुद्धता तक तुच्छ रूप से निकाला जा सकता है, फिर भी उसके दशमलव विस्तार में हर संभावित सीमित पाठ, हर संख्या, और हर लिखी गई जानकारी कहीं-न-कहीं कूटित मिल सकती है।

दो-अंकीय अनुक्रमों की आवृत्ति ≈ 1% प्रत्येक (normality उभरती हुई)
0.521.041%1.030.970.991.010.981.020.9910.971.0400112233445566778899

चैंपरनाउन नियतांक के पहले 10,000 अंकों में चुने गए 2-अंकीय युग्म। प्रत्येक युग्म लगभग 1% समय पर दिखता है। पूर्ण normality बहुत बड़े पैमानों पर स्पष्ट होती है।

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