गणित ने पाँच मुख्य संख्या प्रणालियाँ बनाई हैं, जिनमें हर नई प्रणाली पिछली का विस्तार है। हर विस्तार का कारण कोई ऐसा समीकरण था जिसका पहले समाधान नहीं था: "3-5 क्या है?" ने पूर्णांकों को जन्म दिया; "1/3 क्या है?" ने परिमेयों को; "sqrt(2) क्या है?" ने वास्तविक संख्याओं को; और "sqrt(-1) क्या है?" ने समिश्र संख्याओं को।
Table showing properties gained and lost when extending number systems
| SYSTEM | GEWONNEN | VERLOREN ODER VERÄNDERT |
|---|---|---|
| N, natürliche Zahlen | Zählen, +, × | keine Subtraktion |
| Z, ganze Zahlen | Subtraktion, Negative | keine Division |
| Q, rationale Zahlen | Division, Brüche | kein √2 |
| R, reelle Zahlen | alle Grenzwerte, √2, π | kein √(-1) |
| C, komplexe Zahlen | alle Polynomnullstellen | algebraisch abgeschlossen |
| H, Quaternionen | Drehungen im 3D-Raum | ab ist nicht gleich ba |
| Jede Erweiterung ist eine echte Vergrößerung, keine bloße Umbenennung |
Blue: natural numbers ℕ. Green adds 0. Purple extends to negative integers ℤ. Orange adds fractions ℚ. Red: irrationals fill the rest of ℝ.
गणित की पाँच मुख्य संख्या प्रणालियाँ हैं: प्राकृतिक संख्याएँ N (गिनती, बिना घटाव), पूर्णांक Z (ऋणात्मक और घटाव जोड़ते हैं), परिमेय Q (भाग जोड़ते हैं), वास्तविक R (सीमाएँ और अपरिमेय जोड़ते हैं), और समिश्र C (sqrt(-1) जोड़ते हैं)। हर विस्तार ने ऐसा समीकरण हल किया जिसे पिछली प्रणाली हल नहीं कर सकती थी। समिश्र संख्याएँ बीजीय रूप से पूर्ण हैं: हर बहुपद समीकरण का हल C के भीतर मिलता है। समावेशन सख्त है: N, Z के भीतर; Z, Q के भीतर; Q, R के भीतर; और R, C के भीतर है, जबकि पारातीत संख्याएँ R की बाहरी परत को भर देती हैं।