रीमान जेटा फलन ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ है। ऑयलर ने इसके वास्तविक रूप का अध्ययन किया और ζ(2) = π²/6 (बासेल समस्या) तथा सभी अभाज्यों पर गुणनफल सूत्र ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) प्राप्त किया। रीमान ने 1859 के अपने ऐतिहासिक शोधपत्र में इस फलन को समिश्र संख्याओं तक विस्तृत किया।
Table of zeta function values at even integers
| s | ζ(s) | exakte Form |
|---|---|---|
| 2 | 1,64493… | π²/6 |
| 3 | 1,20206… | unbekannt, Apéry |
| 4 | 1,08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1,01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | triviale Nullstellen |
रीमान की मुख्य अंतर्दृष्टि यह थी कि ζ(s) को समिश्र s तक बढ़ाने पर इसके गैर-तुच्छ शून्य (जहाँ ζ(s) = 0 और 0 < Re(s) < 1) अभाज्य संख्याओं के वितरण को नियंत्रित करते हैं। हर शून्य अभाज्य-गणना फलन में एक दोलन जोड़ता है। रीमान ने 1859 में अनुमान लगाया कि सभी गैर-तुच्छ शून्य रेखा Re(s) = 1/2 पर स्थित हैं। यही रीमान परिकल्पना है।
10 ट्रिलियन से अधिक गैर-तुच्छ शून्यों की जाँच की जा चुकी है और वे सभी Re(s) = 1/2 पर पाए गए हैं। आज तक कोई प्रतिवाद नहीं मिला। Clay Mathematics Institute इसके प्रमाण (या खंडन) के लिए 1 मिलियन डॉलर का पुरस्कार देता है। इसका प्रमाण अभाज्यों के वितरण की त्रुटि पर सबसे तीखी सीमा देगा। रीमान परिकल्पना 165 वर्षों से अनसुलझी है।
रीमान जेटा फलन एक सममिति को संतुष्ट करता है: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s)। यह zeta को सभी समिश्र संख्याओं s (s = 1 को छोड़कर) तक विस्तृत करता है और s पर मान को 1-s पर मान से जोड़ता है। इससे पता चलता है कि गैर-तुच्छ शून्य जोड़ों में आते हैं: यदि s एक शून्य है, तो 1-s भी शून्य है। s = -2, -4, -6, ... पर तुच्छ शून्य sin(pi*s/2) वाले गुणक से आते हैं।
रीमान जेटा फलन zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... है। ऑयलर ने सम पूर्णांकों पर इसके मान निकाले: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90। रीमान ने 1859 में इसे समिश्र s तक विस्तृत किया और अनुमान लगाया कि सभी गैर-तुच्छ शून्य Re(s) = 1/2 पर स्थित हैं। यह रीमान परिकल्पना 165 वर्षों बाद भी असिद्ध है और Clay Millennium Prize की 1 मिलियन डॉलर राशि से जुड़ी है। 10 ट्रिलियन से अधिक शून्य critical line पर सत्यापित किए जा चुके हैं। ये शून्य अभाज्यों के वितरण को नियंत्रित करते हैं: हर शून्य अभाज्य-गणना फलन में एक दोलन जोड़ता है।