ζ(3), रीमान जीटा फलन का 3 पर मान है: अर्थात सभी धनात्मक पूर्णांकों पर 1/n³ का योग। सम मानों के लिए ऑयलर ने सुंदर बंद रूप दिए: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945। विषम मानों के लिए ऐसा कोई सूत्र ज्ञात नहीं है। ζ(3) में π आता भी है या नहीं, यह अज्ञात है।
z(3) दो ऐसे मानों के बीच स्थित है जिनके लिए π वाले ज्ञात बंद रूप मौजूद हैं। z(3) स्वयं π से जुड़ा है या नहीं, यह अब भी अज्ञात है.
1978 में रोजर अपेरी ने घोषणा की कि उन्होंने ζ(3) के अपरिमेय होने का प्रमाण दे दिया है। श्रोता संदेह में थे। हेनरी कोहेन और अन्य गणितज्ञ रातों-रात घर जाकर कंप्यूटरों पर जाँच करने लगे। अगली सुबह तक उन्होंने पुष्टि कर दी कि प्रमाण सही था। एक सहभागी ने कहा, “यह साफ आकाश में गरजते बादल जैसा था।” उस समय अपेरी 64 वर्ष के थे।
आंशिक योग 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... नीचे से ζ(3) ≈ 1.20206 की ओर बढ़ते हैं। अभिसरण धीमा है: n=50 पर भी योग अभी 0.003 दूर है।
ζ(3) को π के रूप में व्यक्त किया जा सकता है या नहीं, यही मुख्य खुला प्रश्न है। सभी सम जीटा मान π की उपयुक्त घातों के परिमेय गुणज होते हैं। विषम जीटा मान যেন किसी अलग ही दुनिया के हों। अनंत रूप से कई विषम मान ζ(2n+1) अपरिमेय माने जा चुके हैं (Rivoal, 2000), लेकिन उनका सटीक ढाँचा अब भी रहस्यमय है। पूरा मान: 1.20205690315959428539973816151144999…
सभी सम k के लिए ζ(2k) = परिमेय संख्या × π^(2k)। ऑयलर ने यह सभी सम मानों के लिए सिद्ध किया। लेकिन ζ(3), ζ(5), ζ(7)... पूरी तरह अलग हैं। ζ(3) अपरिमेय है (Apéry), पर π से उसका कोई ज्ञात संबंध नहीं है। संभव है कि यह वास्तव में π से स्वतंत्र हो।
तालिका: सम पूर्णांकों पर जीटा मान π के ज्ञात गुणज हैं, पर विषम मान अभी भी रहस्यमय हैं
| Gerade s: exakte Formeln | Ungerade s: Rätsel |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | अपरिमेय (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | अपरिमेय? अज्ञात |
| सभी = परिमेय × π^s | π से कोई ज्ञात संबंध नहीं |
अज्ञात। रोजर अपेरी ने 1978 में सिद्ध किया कि zeta(3) अपरिमेय है, लेकिन यह ट्रान्ससेंडेंटल है या नहीं, यह अब भी खुला प्रश्न है। व्यापक रूप से माना जाता है कि यह ट्रान्ससेंडेंटल है, पर कोई प्रमाण मौजूद नहीं है।
क्वांटम इलेक्ट्रोडायनेमिक्स में (इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय आघूर्ण के सुधारों में), रैंडम मैट्रिक्स सिद्धांत में, और द्वि-आयामी आइज़िंग मॉडल की एंट्रॉपी में। सांख्यिकीय यांत्रिकी में यह फर्मी–डिरैक और बोस–आइंस्टीन वितरणों में भी आता है।
रामानुजन ने zeta(3) के लिए बहुत तेज़ी से अभिसारी श्रेणियाँ खोजीं, जिनमें 7pi^3/180 और घातांकों पर आधारित योग वाला एक सूत्र भी शामिल है। उनकी नोटबुकों में zeta(3) से जुड़ी दर्जनों पहचानों का उल्लेख था, जिनमें से अधिकांश उनके निधन के कई दशकों बाद सिद्ध हुईं।
पूर्णांक A(n) = sum of C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 over k, जो अपेरी के अपरिमेयता-प्रमाण में प्रकट होते हैं। शुरुआती मान 1, 5, 73, 1445, 33001 हैं। ये एक पुनरावृत्ति संबंध का पालन करती हैं और इस तरह बढ़ती हैं कि 1/n^3 के आंशिक योगों के हरों से कुछ विशेष गुणक कट जाते हैं, जिससे सीमा अपरिमेय बनती है।
Apery नियतांक zeta(3) योग 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959 है। s के सम मानों के लिए ऑयलर ने π वाले बंद रूप दिए: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90। विषम मानों के लिए ऐसा कोई सूत्र ज्ञात नहीं है। रोजर अपेरी ने 1978 में 64 वर्ष की आयु में सिद्ध किया कि zeta(3) अपरिमेय है। यह ट्रान्ससेंडेंटल है या π के रूप में व्यक्त किया जा सकता है या नहीं, यह अब भी अज्ञात है।