प्लास्टिक संख्या क्या है?

ρ³ = ρ + 1 ≈ 1.32471…
ρ ≈ 1.32471795724474602596090885447809। बीजीय, घात 3।

स्वर्ण अनुपात φ, φ² = φ + 1 को संतुष्ट करता है। प्लास्टिक संख्या ρ इससे मिलते-जुलते घन समीकरण ρ³ = ρ + 1 को संतुष्ट करती है। इसका एकमात्र वास्तविक हल ρ ≈ 1.32471 है। डच वास्तुकार हांस फान डर लान ने 1920 के दशक में इसे "प्लास्टिक संख्या" नाम दिया, जब वे ऐसे त्रि-आयामी अनुपातों का अध्ययन कर रहे थे जो मानव आँख और हाथ को संतुलित लगते हैं।

The Padovan sequence: ratios converge to rho
10.52111122345791216211112234579121621

Padovan: 1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21... each term = sum two and three steps back. Ratios converge to rho.

ρ सबसे छोटी Pisot-Vijayaraghavan संख्या है: 1 से बड़ी ऐसी बीजीय पूर्णांक संख्या जिसके सभी सहचारी मूल इकाई वृत्त के भीतर सख्ती से स्थित हों। पिसोट संख्याओं के हार्मोनिक विश्लेषण, टाइलिंग सिद्धांत और क्वासिक्रिस्टलों की संरचना में विशेष गुण होते हैं। ρ के बाद अगली पिसोट संख्या स्वर्ण अनुपात φ है।

Golden ratio and plastic number: the self-similarity equations
φ² = φ + 1 → φ ≈ 1.61803 (2-D)
ρ³ = ρ + 1 → ρ ≈ 1.32471 (3-D)
Both are the unique real roots > 1 of their respective equations. ρ generalises φ from 2-term to 3-term recurrences.

फान डर लान ने नीदरलैंड्स के वाल्स में स्थित सेंट बेनेडिक्ट ऐबी को ρ से निकले अनुपातों के आधार पर डिज़ाइन किया। उनका तर्क था कि 1:1 और 1:7 के बीच के अनुपात ही मानव दृष्टि को "अलग लेकिन संबंधित" प्रतीत होते हैं, और ρ इस दायरे को सबसे सामंजस्यपूर्ण ढंग से विभाजित करता है। पूर्ण मान: 1.32471795724474602596090885447809734…

Padovan sequence: each bar is sum of the two bars before the previous
ρ³ = ρ + 1: the plastic number self-similarity 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 ratio 9/7=1.286 → ρ ≈ 1.325

The Padovan sequence 1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12… each term = term two ago + term three ago. The bars grow asymptotically at rate ρ ≈ 1.3247 per step. The golden ratio governs 2-step Fibonacci; the plastic number governs this 3-step variant.

प्लास्टिक संख्या के मुख्य तथ्य

प्लास्टिक संख्या ρ ≈ 1.32471, x^3 = x + 1 का वास्तविक हल है। 1920 के दशक में डच वास्तुकार हांस फान डर लान ने इसे त्रि-आयामी अनुपातों में इसकी भूमिका के कारण नाम दिया। ρ सबसे छोटी Pisot-Vijayaraghavan संख्या है: 1 से बड़ी ऐसी बीजीय पूर्णांक संख्या जिसके सभी सहचारी मूल इकाई वृत्त के भीतर हों। पडोवान अनुक्रम 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16... के अनुपात ρ की ओर अभिसरित होते हैं। फान डर लान ने नीदरलैंड्स के वाल्स में सेंट बेनेडिक्ट ऐबी की रचना में ρ के अनुपातों का उपयोग किया।

उपयोग क्षेत्र
गणित
भौतिकी
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