π(n) को n तक की अभाज्य संख्याओं की संख्या मानें। अभाज्य संख्या प्रमेय कहता है कि π(n), n/ln(n) की तरह बढ़ता है। जैसे-जैसे n बड़ा होता है, n के आस-पास लगभग हर ln(n) संख्याओं में से 1 संख्या अभाज्य होती है। दस लाख के पास लगभग हर 14 संख्याओं में 1 अभाज्य है। एक अरब के पास लगभग हर 21 में 1।
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) — the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
गाउस ने लगभग 1800 में अभाज्य संख्याओं की सारणियाँ देखकर इस परिणाम का अनुमान लगाया। 1896 में जैक हदामार और शार्ल-जाँ दे ला वाले-पुसाँ ने इसे स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया; दोनों ने रीमान जेटा फलन और समिश्र विश्लेषण का उपयोग किया। एक "प्राथमिक" प्रमाण (बिना समिश्र विश्लेषण के) 1948 में सेलबर्ग और एर्डोश ने स्वतंत्र रूप से खोजा।
Table showing density of primes at various scales
| Bis n | Primzahlen π(n) | Dichte ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 von 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 von 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 von 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 von 28 |
रीमान परिकल्पना त्रुटि के लिए सबसे तीखी सीमा देगी: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π)। इसके बिना हम केवल इतना जानते हैं कि त्रुटि o(n/ln(n)) है। इसी कारण रीमान परिकल्पना गणित का सबसे महत्वपूर्ण खुला प्रश्न मानी जाती है: यह बताएगी कि अभाज्यों के बीच के अंतराल कितने पूर्वानुमेय हैं।
π(n) के लिए n/ln(n) से अधिक सटीक सन्निकटन लघुगणकीय समाकल Li(n) है, जहाँ Li(n) = 2 से n तक dt/ln(t) का समाकल है। गाउस इस रूप को अधिक पसंद करते थे। n = 1,000,000 पर n/ln(n) का मान 72,382 मिलता है, जबकि Li(n) 78,628 देता है, और वास्तविक गिनती 78,498 है। Li(n) की त्रुटि बहुत छोटी होती है। रीमान परिकल्पना इस त्रुटि को ठीक-ठीक sqrt(n) * ln(n) से सीमित कर देगी।