√2 एक इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई है। यदि भुजा 1 वाला एक वर्ग लें, तो एक कोने से विपरीत कोने तक की दूरी ठीक √2 होती है। यही पाइथागोरस का प्रमेय है: 1² + 1² = (√2)²।
लगभग 500 ईसा पूर्व पाइथागोरसियों ने खोजा कि √2 को p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हों। विरोधाभास द्वारा प्रमाण अत्यंत सुंदर है: मान लें √2 = p/q न्यूनतम रूप में है। तब 2q² = p², इसलिए p² सम है, अतः p सम होगा; p = 2k लिखें। तब 2q² = 4k², इसलिए q² = 2k², अतः q भी सम है। यह इस मान्यता का विरोधाभास है कि p/q न्यूनतम रूप में था। इसलिए √2 अपरिमेय है।
सतत भिन्न [1; 2, 2, 2, …] से मिलने वाले convergents। हर भिन्न उस हर (denominator) के लिए सबसे अच्छा परिमेय सन्निकटन है।
Convergents of square root of 2 from continued fraction
| Bruch | Dezimalzahl | Fehler |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 बीजीय है (यह x² = 2 को संतुष्ट करता है), लेकिन अपरिमेय है। त्रिकोणमिति में: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2। A-paper श्रृंखला (A4, A3, A2…) 1:√2 अनुपात का उपयोग करती है, ताकि कागज़ को आधा मोड़ने पर वही अनुपात बना रहे। पूर्ण परिशुद्धता तक मान: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
2 का वर्गमूल लगभग 1.41421356237309504880 है। यह पहली संख्या थी जिसकी अपरिमेयता का प्राचीन यूनानियों ने लगभग 500 ईसा पूर्व प्रमाण दिया। यह बीजीय है और x² = 2 को संतुष्ट करता है। यह इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई के रूप में, equal-temperament संगीत-स्वरमापन में (जहाँ हर सेमीटोन आवृत्ति को 2 के 12वें मूल से गुणा करता है), A-series कागज़ के आयामों में (A4 को मोड़ने पर A5 मिलता है, वही अनुपात), और जब पाइथागोरस प्रमेय में दोनों लंबवत भुजाएँ समान हों तब दिखाई देता है।
2 का वर्गमूल is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the सतत भिन्न.