Euler की पहचान Euler के सूत्र से निकलती है: eix = cos(x) + i·sin(x)। x = π रखने पर eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1 मिलता है, अतः eiπ + 1 = 0।
eiθ इकाई वृत्त पर चलता है। π रेडियन घूमने पर −1 पर पहुँचते हैं। 1 जोड़ें, 0 मिलता है।
यह अंकगणित (0 और 1), बीजगणित (i), ज्यामिति (π), और विश्लेषण (e) — गणित की चार अलग-अलग शाखाओं — को अद्भुत सरलता के एक ही समीकरण में जोड़ती है। Richard Feynman ने इसे “गणित का सबसे उल्लेखनीय सूत्र” कहा था।
Leonhard Euler (1707–1783) ने अपनी Introductio in analysin infinitorum (1748) में eix = cos(x) + i·sin(x) सूत्र प्रकाशित किया। यह पहचान x = π पर इसका विशेष रूप है। Euler ने e, i, f(x), Σ और π संकेतन प्रचलित किए।
eˣ की टेलर श्रेणी में वास्तविक पद cos(π) बनाते हैं और काल्पनिक पद i·sin(π)। क्योंकि cos(π) = −1 और sin(π) = 0, इसलिए e^(iπ) = −1, और इस तरह e^(iπ) + 1 = 0।
सूत्र e^(i*theta), theta बढ़ने पर सम्मिश्र समतल पर इकाई वृत्त का पथ बनाता है। e^(i*pi), 1 से ठीक pi रेडियन (180 डिग्री) का घूर्णन है और -1 पर पहुँचता है। 1 जोड़ने पर आप 0 पर वापस आ जाते हैं। इसी कारण e^(i*pi) + 1 = 0: यह सम्मिश्र समतल का आधा चक्कर है जिसे एक समीकरण के रूप में लिखा गया है।
e^(iθ) एक घूर्णन ऑपरेटर है। θ=π पर आप ठीक आधा वृत्त घूम चुके होते हैं। वास्तविक अक्ष पर 1 बिंदु -1 तक पहुँचता है। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर e^(iπ) + 1 = 0 मिलता है।
ऑयलर की पहचान e^(i*pi) + 1 = 0, गणित के पाँच सबसे महत्वपूर्ण नियतांकों को एक साथ जोड़ती है: e (प्राकृतिक लघुगणक का आधार), i (काल्पनिक इकाई), pi (वृत्त नियतांक), 1 (गुणात्मक पहचान), और 0 (योगात्मक पहचान)। यह ऑयलर के सूत्र e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) से सीधे निकलती है, जब theta = pi रखा जाए। क्योंकि cos(pi) = -1 और sin(pi) = 0, इसलिए e^(i*pi) = -1 मिलता है। लगभग 1748 में ऑयलर ने इसे प्रकाशित किया। कई सर्वेक्षणों में इसे गणित का सबसे सुंदर समीकरण चुना गया।