हर वास्तविक संख्या का एक सतत भिन्न होता है: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). पूर्णांक a₁, a₂, a₃, … उसके आंशिक गुणांक होते हैं। π के लिए ये 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… हैं। √2 के लिए 1; 2, 2, 2, 2, 2… (आवर्ती, सब 2) मिलते हैं। खिनचिन ने 1934 में सिद्ध किया कि लगभग हर वास्तविक संख्या के लिए इन आंशिक गुणांकों का ज्यामितीय माध्य एक ही नियतांक K₀ ≈ 2.68545 पर अभिसरित होता है।
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). The partial quotient 1 appears in ~41% of all continued fraction expansions of random real numbers.
K₀ का सूत्र K₀ = ∏(k=1 to ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)) है, जो अत्यंत धीमी गति से अभिसरित होता है। खिनचिन का प्रमेय उन परिणामों का उदाहरण है जो लगभग हर संख्या के लिए सत्य होते हैं, फिर भी किसी एक विशिष्ट नियतांक के लिए जाँचे नहीं जा सकते। हम किसी भी ज्ञात स्थिरांक का ऐसा एक निश्चित उदाहरण नहीं दिखा सकते जो इस नियम का पालन करता हो।
By k=3 over two-thirds of all partial quotients are accounted for. The sequence converges slowly toward 1.
यह तथ्य कि 1 सबसे अधिक आता है (लगभग 41.5%) समझाता है कि K₀ ≈ 2.685, 3 से कम क्यों है: छोटे मान ज्यामितीय माध्य को नीचे खींचते हैं। यदि 1 से 9 तक सभी अंक समान प्रायिकता से आते, तो ज्यामितीय माध्य (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4.15 होता। 1 की भारी प्रधानता K₀ को काफी छोटा बना देती है।
खिनचिन नियतांक K0 ≈ 2.68545 एक सार्वभौमिक सीमा है: लगभग हर वास्तविक संख्या x = [a0; a1, a2, ...] के लिए आंशिक गुणांकों का ज्यामितीय माध्य (a1*a2*...*an)^(1/n) K0 पर अभिसरित होता है। इसे खिनचिन ने 1934 में सिद्ध किया। सबसे striking बात इसकी सार्वभौमिकता है: लगभग हर संख्या का यह ज्यामितीय माध्य समान होता है, फिर भी π या e जैसे किसी एक ज्ञात नियतांक के लिए इस परिणाम की पुष्टि नहीं की जा सकती। K0 बीजीय है या पारातीत, यह अभी अज्ञात है।