φ (फाई) x² = x + 1 का धनात्मक हल है। इस समीकरण का एक ज्यामितीय अर्थ भी है: यदि आप किसी रेखाखंड को इस तरह विभाजित करें कि पूरे का बड़े भाग से वही अनुपात हो जो बड़े भाग का छोटे भाग से, तो वह अनुपात φ होता है। किसी अन्य संख्या में यह आत्म-सदृश गुण नहीं मिलता।
Table of Fibonacci ratios converging to phi
| Fib-Paar | Quotient | Abstand zu φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| → ∞ | 1,61803… | 0 |
स्वर्ण अनुपात नियमित पंचभुज और पंचतारा में दिखाई देता है, जहाँ विकर्ण एक-दूसरे को स्वर्ण अनुपात में काटते हैं। हर फिबोनाची संख्या को उससे पिछली संख्या से भाग देने पर अनुपात φ की ओर बढ़ता है। सतत भिन्न [1; 1, 1, 1, …] सबसे सरल अनंत सतत भिन्न है: इसमें सभी 1 हैं। इसी कारण φ को भिन्नों द्वारा सन्निकट करना सबसे कठिन माना जाता है, और इसे "सबसे अधिक अपरिमेय संख्या" भी कहा जाता है।
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
φ, φ² = φ + 1 को संतुष्ट करता है, इसलिए φ = 1 + 1/φ। बार-बार प्रतिस्थापन करने पर: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …))। सभी 1 वाली यह अनंत सतत भिन्न ही इसकी परिभाषा भी है और यही इसके "सबसे अधिक अपरिमेय" होने का कारण भी। पूर्ण परिशुद्धता तक इसका मान: 1.61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
स्वर्ण अनुपात φ लगभग 1.61803398874989484820 है। यह x² = x + 1 का धनात्मक हल है। φ अपरिमेय, बीजीय, और क्रमागत फिबोनाची संख्याओं के अनुपात की सीमा है। यह नियमित पंचभुज और आइकोसाहेड्रॉन में, सूरजमुखी के बीजों की सर्पिलों में, और प्राचीन यूनान से अध्ययन किए गए अनुपातों में दिखाई देता है। इसकी सतत भिन्न [1; 1, 1, 1, ...] इसे भिन्नों से सन्निकट करना सबसे कठिन वास्तविक संख्या बनाती है; इसी वजह से फाइलोटैक्सिस में φ से निकला स्वर्ण कोण दिखाई देता है।
स्वर्ण अनुपात φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the द्विघात सूत्र.