कलन का मूल प्रमेय दो ऐसी धारणाओं को जोड़ता है जो ऊपर से अलग दिखती हैं। भाग 1: यदि आप किसी फलन का एक नियत बिंदु से x तक समाकल लें, तो उस समाकल का अवकलज वही मूल फलन होता है। भाग 2: a से b तक f का निश्चित समाकल, किसी भी प्रतिअवकलज F का b पर मान घटा F का a पर मान, के बराबर होता है।
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. प्रतिअवकलज F(x) = x³/3 बिना किसी सन्निकटन के सटीक क्षेत्रफल देता है।
इस प्रमेय से पहले क्षेत्रफल निकालने के लिए रीमान योग चाहिए होते थे: क्षेत्र को पतले आयतों में बाँटो, उनका योग लो और फिर सीमा लो। FTC यह सब एक ही घटाव से बदल देता है। न्यूटन ने 1666 तक इसे समझ लिया था और लाइबनिट्स ने 1675 तक स्वतंत्र रूप से। प्राथमिकता पर उनका विवाद एक पीढ़ी तक ब्रिटिश और यूरोपीय गणित को बाँटता रहा।
कलन के पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाने वाला हर समाकल भाग 2 का उपयोग करता है: प्रतिअवकलज खोजो, सिरों पर उसका मान निकालो, और घटा दो। यह काम इसलिए करता है क्योंकि अवकलन और समाकलन एक-दूसरे के सटीक व्युत्क्रम हैं। यह पूरे गणित के सबसे गहरे और सबसे उपयोगी परिणामों में से एक है।
8 आयतों वाला एक रीमान योग ≈ 0.273 देता है। सटीक उत्तर 8/3 ≈ 2.667 है। मूल प्रमेय बिना आयतों के ही सटीक परिणाम द ेता है।
a से b तक विस्थापन पर परिवर्ती बल F(x) द्वारा किया गया कार्य W = a से b तक F(x) dx का समाकल = P(b) - P(a) होता है, जहाँ P संभावित ऊर्जा फलन है और P' = -F को संतुष्ट करता है। वेग का समाकल विस्थापन देता है; बल का समाकल impulse देता है। FTC ही इन गणनाओं को व्यावहारिक बनाता है, वरना अनंत रीमान योगों की आवश्यकता पड़ती।