हार्मोनिक श्रेणी सभी इकाई भिन्नों का योग है। हर पद 1/n शून्य की ओर जाता है, इसलिए पहली नज़र में लग सकता है कि योग अभिसरित होगा, लेकिन ऐसा नहीं होता। प्रमाण समूहबंदी से आता है: 1/3+1/4 > 1/2, फिर 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, और हर ऐसा समूह कम से कम 1/2 जोड़ता है, इसलिए कुल योग किसी भी सीमा को पार कर सकता है। फिर भी इसका अपसरण बेहद धीमा है: आंशिक योग 100 तक पहुँचाने के लिए दृश्य ब्रह्मांड के परमाणुओं से भी अधिक पद चाहिए।
H(n) and ln(n) grow together, always differing by approximately γ ≈ 0.5772. Both diverge: to reach H(n) = 100 requires about 10^43 terms.
~10^43 terms are needed to reach H(n)=100. More than atoms in the observable universe.
हार्मोनिक श्रेणी 1 + 1/2 + 1/3 + ... अपसारी है; इसका प्रमाण निकोल ऑरेम ने लगभग 1350 में दिया। हर पद शून्य की ओर जाने के बावजूद, कुल योग किसी भी सीमा से बड़ा हो जाता है। आंशिक योग लगभग ln(n) + gamma की तरह बढ़ते हैं, जहाँ gamma ≈ 0.5772 ऑयलर–माशेरोनी नियतांक है। दस लाख पदों के बाद भी योग केवल लगभग 14 होता है। 100 तक पहुँचने के लिए 10^43 से अधिक पद चाहिए। वैकल्पिक श्रेणी 1 - 1/2 + 1/3 - ... ठीक ln 2 पर अभिसरित होती है।