A 1 appears at positions 1, 2, 6, 24, 120, 720... (the factorials). All other positions are 0. The gaps grow exponentially: after position 24 the next 1 is at position 120.
Each breakthrough opened a new tool for proving numbers transcendental. Lindemann proved π is transcendental in 1882, ending the squaring-the-circle problem.
लिउविल नियतांक L = 0.110001000000000000000001... में 1!, 2!, 3!, 4!, ... स्थानों पर 1 होते हैं और बाकी सब जगह 0। जोज़ेफ़ लिउविल ने इसे 1844 में पहली स्पष्ट पारातीत संख्या के रूप में बनाया, जो हर्माइट द्वारा e को पारातीत सिद्ध किए जाने से 29 वर्ष पहले की बात है। उनके प्रमाण ने दिखाया कि बीजीय संख्याओं को परिमेय संख्याओं से अत्यधिक सटीकता से सन्निकट नहीं किया जा सकता; L में बहुत तेजी से दूर-दूर रखे गए 1 इस सीमा का उल्लंघन करते हैं। इस निर्माण ने यह भी सुंदर ढंग से दिखाया कि पारातीत संख्याएँ अस्तित्व में हैं—वह भी कैंटर के बाद के विकर्ण तर्क से पहले।