अभाज्य संख्याएँ क्या हैं?

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं। यूक्लिड ने लगभग 300 ईसा पूर्व सिद्ध किया। 1000वीं अभाज्य = 7919।

अभाज्य संख्या 1 से बड़ी ऐसी पूर्ण संख्या है जिसके केवल दो भाजक हों: 1 और स्वयं। 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या या तो अभाज्य होती है या अभाज्यों के अद्वितीय गुणनफल के रूप में लिखी जा सकती है। यही अंकगणित का मौलिक प्रमेय है: हर संख्या का ठीक एक अभाज्य गुणनखंडीकरण होता है।

Sieve of Eratosthenes: primes up to 50
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 Red = prime. Grey = composite. 11 primes shown (2 to 41).

यूक्लिड ने लगभग 300 ईसा पूर्व सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं। मान लें कि सबसे बड़ी अभाज्य p हो। सभी ज्ञात अभाज्यों को गुणा करके उसमें 1 जोड़ें। परिणाम या तो स्वयं अभाज्य होगा (विरोधाभास) या उसमें ऐसा अभाज्य गुणनखंड होगा जो आपकी सूची में नहीं है (फिर भी विरोधाभास)। इसलिए अभाज्य संख्याएँ कभी समाप्त नहीं होतीं।

Primes up to 50

The first 15 primes up to 47. There are 15 primes below 50.

Primzahl#Primzahl#Primzahl#
211983712
322394113
5329104314
7431114715
11537125316
13641135917
17743146118

MemorisePi, 2 से 7919 तक की अभाज्य संख्याओं (पहली 1000 अभाज्य) का उपयोग करता है। अभाज्य संख्या प्रमेय बताता है कि nवीं अभाज्य लगभग n·ln(n) होती है। 1000वीं अभाज्य 7919 है, जो अनुमान 1000·ln(1000) ≈ 6908 के काफ़ी निकट है। अभाज्यों के अंतरालों का वितरण रीमान परिकल्पना से गहराई से जुड़ा है।

जुड़वाँ अभाज्य नियतांक → अभाज्य संख्या प्रमेय →
Euclid's proof: infinitely many primes
Assume finitely many primes: p₁, p₂, …, pₙ
N = p₁·p₂·…·pₙ + 1 → N is divisible by none of p₁…pₙ
So N is prime or has a prime factor not in the list — contradiction. ∴ infinitely many primes. QED (Euclid, ~300 BC)
गोल्डबाख की परिकल्पना

2 से बड़ी हर सम पूर्ण संख्या दो अभाज्यों के योग के रूप में लिखी जा सकती है। उदाहरण: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 100 = 3 + 97। 1742 में क्रिश्चियन गोल्डबाख ने ऑयलर को लिखे पत्र में यह प्रस्ताव रखा था। 4 × 10^18 तक की हर सम संख्या के लिए इसकी जाँच हो चुकी है, फिर भी इसका प्रमाण आज तक नहीं मिला। यह गणित के सबसे पुराने अनसुलझे प्रश्नों में से एक है।

संबंधित विषय
जुड़वाँ अभाज्य अभाज्य संख्या प्रमेय रीमान जेटा
अभाज्य संख्याओं के मुख्य तथ्य

अभाज्य संख्या 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्या है जिसके केवल दो भाजक होते हैं: 1 और स्वयं। यूक्लिड ने लगभग 300 ईसा पूर्व सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं। अंकगणित का मौलिक प्रमेय कहता है कि 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या का एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडीकरण होता है। अभाज्य संख्या प्रमेय के अनुसार nवीं अभाज्य लगभग n*ln(n) होती है। MemorisePi पहली 1000 अभाज्यों (2 से 7919 तक) का अभ्यास कराता है। क्या हर सम संख्या दो अभाज्यों का योग है (गोल्डबाख की परिकल्पना), यह 280 वर्षों बाद भी अनसुलझा है।

उपयोग क्षेत्र
∑गणित
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⚛भौतिकी
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⚙अभियांत्रिकी
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🧬जीवविज्ञान
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💻कंप्यूटर विज्ञान
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📊सांख्यिकी
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📈वित्त
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🎨कला
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🏛वास्तुकला
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🔐क्रिप्टोग्राफ़ी
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🌌खगोलविज्ञान
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2024 तक सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या कौन सी है?
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