पाई किसी भी वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है। वृत्त कितना भी बड़ा या छोटा हो, यह अनुपात हमेशा समान रहता है: π = 3.14159265358979... इसकी परिभाषा ज्यामितीय है, लेकिन पाई भौतिकी, प्रायिकता, अभियंत्रिकी और गणित की लगभग हर शाखा में दिखाई देता है।
पाई को दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता (योहान हाइनरिख लैम्बर्ट ने 1761 में सिद्ध किया)। यह पारातीत भी है: अर्थात यह पूर्णांक गुणांकों वाले किसी भी बहुपद का हल नहीं है (फ़र्डिनांड फ़ॉन लिंडेमान ने 1882 में सिद्ध किया)। इसका अर्थ है कि केवल परकार और सीधी रेखा से वृत्त का वर्ग बनाना असंभव है। इसका दशमलव प्रसार न कभी समाप्त होता है और न दोहराता है।
सिराक्यूज़ के आर्किमिडीज़ (~250 ईसा पूर्व) ने पहली बार पाई के लिए कठोर सीमाएँ स्थापित कीं; उन्होंने 96 भुजाओं वाले अंतःस्थ और बहिर्स्थ बहुभुजों का उपयोग कर दिखाया कि पाई 3+10/71 और 3+1/7 के बीच है। बेबीलोनियों ने 3.125 और मिस्रवासियों ने 3.1605 का उपयोग किया। प्रतीक π को 1706 में वेल्श गणितज्ञ विलियम जोन्स ने प्रस्तुत किया और ऑयलर ने लोकप्रिय बनाया। 2024 तक पाई के 100 ट्रिलियन से अधिक दशमलव अंक निकाले जा चुके हैं।
पाई केवल वृत्तों तक सीमित नहीं है: यह सामान्य वितरण में आता है (घंटी-वक्र में √(2π) होता है), ऑयलर की सर्वसमिका e^(iπ) + 1 = 0 में, इस प्रायिकता में कि दो यादृच्छिक पूर्णांकों का कोई समान गुणनखंड न हो (6/π²), स्टर्लिंग के फैक्टोरियल सन्निकटन n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ में, क्वांटम यांत्रिकी में, और गोले के आयतन 4πr³/3 के सूत्र में।
π ≈ 3.14159265358979323846। अपरिमेय (लैम्बर्ट, 1761)। पारातीत (लिंडेमान, 1882)। पाई दिवस 14 मार्च को मनाया जाता है (अमेरिकी दिनांक प्रारूप 3/14)। भिन्न 22/7 पाई का 0.04% अधिक मान देता है। बेहतर सन्निकटन 355/113 छह दशमलव स्थान तक सही है। क्या पाई एक normal संख्या है — यानी हर अंक-अनुक्रम समान आवृत्ति से आता है — यह अज्ञात है, हालांकि अधिकांश गणितज्ञ ऐसा मानते हैं।
Archimedes used 96-sided polygons to prove 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, giving 3.1408 < π < 3.1429. He never computed π, he trapped it. The method works because the circle's perimeter lies between the two polygon perimeters.
पाई is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the लाइबनिट्ज़ सूत्र.