מהו הקבוע של לוי?
לכל מספר ממשי יש קירובים רציונליים מיטביים: שברים p/q הקרובים ל-x יותר מכל שבר עם מכנה קטן יותר. המכנים q₁, q₂, q₃, … גדלים, אך באיזה קצב? פול לוי הוכיח ב-1935 שעבור כמעט כל מספר ממשי, qₙ^(1/n) מתכנס ל-e^β ≈ 3.27582, כאשר β = π²/(12 ln 2).
For almost all real numbers, ln(qₙ) grows linearly at slope β ≈ 1.1865. The denominators of π's convergents (1,7,106,113,33102…) grow faster on average due to the anomalous partial quotient 292.
ליחס הזהב φ = [1;1,1,1,…] יש מכנים של פיבונאצ'י 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … הגדלים בקצב φ ≈ 1.618 לצעד. זה איטי בהרבה מ-e^β ≈ 3.276, ולכן φ הוא המספר "האי-רציונלי ביותר": הקירובים שלו משתפרים לאט ביותר. למרבית המספרים יש מכנים הגדלים מהר בהרבה, בקצב e^β.
| φ = [1;1,1,1,…] | Typical number |
|---|---|
| qₙ grows as φⁿ ≈ 1.618ⁿ | qₙ grows as (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ |
| Slowest possible growth | Lévy's theorem |
הערך β = π²/(12 ln 2) נובע מאינטגרציה של התפלגות גאוס-קוזמין. ה-ln 2 נובע מעבודה בבסיס 2 (בינארי), ו-π² נובע מאותם מקורות כמו ζ(2) = π²/6. הקבוע של לוי: 1.1865691104156254… e^β = 3.275822918721811159787681882…
| n | Partial quotient aₙ | Convergent pₙ/qₙ | Denominator qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
הקבוע של לוי בטא = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1.18657. עבור כמעט כל מספר ממשי, מכנה המתכנס ה-n qn מקיים qn^(1/n) ל-e^beta ≈ 3.27582. הוכח על ידי פול לוי ב-1935. יחס הזהב, עם מכני פיבונאצ'י הגדלים בקצב phi ≈ 1.618, נמצא הרבה מתחת לממוצע, ומאשר אותו כמספר הקשה ביותר לקירוב. הנוסחה משלבת את pi ו-ln 2, ומחברת את גאומטריית המעגל עם לוגריתמים דרך התפלגות גאוס-קוזמין.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.
