מהו יחס הזהב (φ)?
φ (פיי) הוא הפתרון החיובי של x² = x + 1. למשוואה זו יש משמעות גאומטרית: אם מחלקים קטע ישר כך שיחס השלם לחלק הארוך שווה ליחס החלק הארוך לחלק הקצר, יחס זה הוא φ. לאף מספר אחר אין תכונת דמיון-עצמי זו.
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
יחס הזהב מופיע במחומש הרגיל ובמגן-דוד, שם האלכסונים חוצים זה את זה ביחס הזהב. כל מספר פיבונאצ'י מחולק בקודם שואף ל-φ. השבר המשולב [1; 1, 1, 1, …] הוא השבר המשולב האינסופי הפשוט ביותר: כולו 1. זה הופך את φ למספר הקשה ביותר לקירוב באמצעות שברים, ומזכה אותו בתואר "המספר האי-רציונלי ביותר".
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
φ מקיים φ² = φ + 1, ולכן φ = 1 + 1/φ. בהצבה חוזרת: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). שבר משולב אינסופי זה של כולו 1 הוא גם ההגדרה וגם הסיבה למעמדו כ"אי-רציונלי ביותר". חושב בדיוק מלא: 1.61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
יחס הזהב פיי הוא בקירוב 1.61803398874989484820. זהו הפתרון החיובי של x² = x + 1. פיי הוא אי-רציונלי, אלגברי, והיחס הגבולי של מספרי פיבונאצ'י עוקבים. הוא מופיע במחומש הרגיל ובאיקוסהדרון, בספירלות זרעי החמניות, ובפרופורציות הנחקרות מאז יוון העתיקה. השבר המשולב שלו [1; 1, 1, 1, ...] הופך אותו למספר הממשי הקשה ביותר לקירוב באמצעות שברים, ולכן הפילוטקסיס משתמש בזווית הזהב הנגזרת מפיי.
יחס הזהב φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the נוסחת השורשים.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.
