מהו הקבוע של חינצ'ין?
לכל מספר ממשי יש שבר משולב: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). השלמים a₁, a₂, a₃, … הם המנות החלקיות. עבור π הם 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… עבור √2 הם 1; 2, 2, 2, 2, 2… (מחזורי, כולם 2). חינצ'ין הוכיח ב-1934 שעבור כמעט כל מספר ממשי, הממוצע הגאומטרי של המנות החלקיות מתכנס לאותו קבוע K₀ ≈ 2.68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). The partial quotient 1 appears in ~41% of all continued fraction expansions of random real numbers.
הנוסחה ל-K₀ היא K₀ = ∏(k=1 to ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), המתכנסת לאט במיוחד. משפט חינצ'ין הוא דוגמה לתוצאה הנכונה עבור כמעט כל מספר, אך לא ניתנת לאימות עבור קבוע ספציפי בודד. איננו יכולים להציג מופע מאומת אחד של מספר המציית לה.
By k=3 over two-thirds of all partial quotients are accounted for. The sequence converges slowly toward 1.
העובדה ש-1 שולט (41.5%) מסבירה מדוע K₀ ≈ 2.685 קטן מ-3: הערכים הקטנים מושכים את הממוצע הגאומטרי כלפי מטה. אם כל הספרות מ-1 עד 9 היו סבירות באותה מידה, הממוצע הגאומטרי היה (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4.15. המשקל הכבד לכיוון 1 הופך את K₀ לקטן בהרבה.
הקבוע של חינצ'ין K0 ≈ 2.68545 הוא גבול אוניברסלי: עבור כמעט כל מספר ממשי x = [a0; a1, a2, ...], הממוצע הגאומטרי של המנות החלקיות (a1*a2*...*an)^(1/n) מתכנס ל-K0. הוכח על ידי חינצ'ין ב-1934. ההיבט המדהים הוא האוניברסליות: כמעט כל מספר חולק ממוצע גאומטרי זה, אך התוצאה אינה ניתנת לאימות עבור קבוע ידוע בודד כמו pi או e. האם K0 אלגברי או טרנסצנדנטי אינו ידוע.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.
