ค่าคงตัวเลวีคืออะไร?
จำนวนจริงทุกตัวมีการประมาณตรรกยะที่ดีที่สุด: เศษส่วน p/q ที่อยู่ใกล้ x มากกว่าเศษส่วนใด ๆ ที่มีตัวส่วนเล็กกว่า ตัวส่วน q₁, q₂, q₃, … เติบโตขึ้น แต่ในอัตราใด? Paul Lévy พิสูจน์ในปี 1935 ว่าสำหรับจำนวนจริงเกือบทุกตัว qₙ^(1/n) ลู่เข้าสู่ e^β ≈ 3.27582 โดยที่ β = π²/(12 ln 2)
For almost all real numbers, ln(qₙ) grows linearly at slope β ≈ 1.1865. The denominators of π's convergents (1,7,106,113,33102…) grow faster on average due to the anomalous partial quotient 292.
อัตราส่วนทอง φ = [1;1,1,1,…] มีตัวส่วนแบบฟีโบนัชชี 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … ที่เติบโตในอัตรา φ ≈ 1.618 ต่อขั้น นี่ช้ากว่า e^β ≈ 3.276 มาก ซึ่งเป็นเหตุผลที่ φ เป็นจำนวนที่ "อตรรกยะที่สุด": การประมาณของมันดีขึ้นช้าที่สุด จำนวนส่วนใหญ่มีตัวส่วนที่เติบโตเร็วกว่ามาก ในอัตรา e^β
| φ = [1;1,1,1,…] | Typical number |
|---|---|
| qₙ grows as φⁿ ≈ 1.618ⁿ | qₙ grows as (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ |
| Slowest possible growth | Lévy's theorem |
ค่า β = π²/(12 ln 2) เกิดขึ้นจากการหาปริพันธ์การแจกแจงเกาส์-คุซมิน ตัว ln 2 มาจากการทำงานในฐาน 2 (ฐานสอง) และ π² เกิดขึ้นจากแหล่งเดียวกับ ζ(2) = π²/6 ค่าคงตัวเลวี: 1.1865691104156254… e^β = 3.275822918721811159787681882…
| n | Partial quotient aₙ | Convergent pₙ/qₙ | Denominator qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
ค่าคงตัวเลวี beta = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1.18657 สำหรับจำนวนจริงเกือบทุกตัว ตัวส่วนของตัวลู่เข้าตัวที่ n คือ qn สอดคล้องกับ qn^(1/n) สู่ e^beta ≈ 3.27582 พิสูจน์โดย Paul Levy ในปี 1935 อัตราส่วนทองซึ่งมีตัวส่วนแบบฟีโบนัชชีที่เติบโตในอัตรา phi ≈ 1.618 อยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยมาก ยืนยันว่ามันเป็นจำนวนที่ประมาณได้ยากที่สุด สูตรนี้รวม pi และ ln 2 เข้าด้วยกัน เชื่อมโยงเรขาคณิตของวงกลมกับลอการิทึมผ่านการแจกแจงเกาส์-คุซมิน
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
