Christoffer De Geer 20 มีนาคม 2569

อัตราส่วนทอง (φ) คืออะไร?

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.61803…

φ² = φ + 1 เศษส่วนต่อเนื่อง: [1; 1, 1, 1, …] จำนวนอตรรกยะและเชิงพีชคณิต

φ (phi) คือคำตอบที่เป็นบวกของ x² = x + 1 สมการนี้มีความหมายเชิงเรขาคณิต: หากคุณแบ่งส่วนของเส้นตรงให้อัตราส่วนของทั้งหมดต่อส่วนที่ยาวกว่าเท่ากับอัตราส่วนของส่วนที่ยาวกว่าต่อส่วนที่สั้นกว่า อัตราส่วนนั้นคือ φ ไม่มีจำนวนอื่นใดที่มีคุณสมบัติคล้ายตัวเองนี้

The golden division

Fibonacci ratios converge to φ

Table of Fibonacci ratios converging to phi
Fib pair	ratio	distance to φ
1, 1	1.000	0.618
2, 3	1.500	0.118
8, 13	1.625	0.007
55, 89	1.61818…	0.00015
→ ∞	1.61803…	0

อัตราส่วนทองปรากฏในรูปห้าเหลี่ยมปกติและรูปดาวห้าแฉก ที่ซึ่งเส้นทแยงมุมตัดกันในอัตราส่วนทอง จำนวนฟีโบนัชชีทุกตัวหารด้วยตัวก่อนหน้าจะเข้าใกล้ φ เศษส่วนต่อเนื่อง [1; 1, 1, 1, …] เป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ที่ง่ายที่สุด: เป็น 1 ทั้งหมด สิ่งนี้ทำให้ φ เป็นจำนวนที่ประมาณด้วยเศษส่วนได้ยากที่สุด ทำให้ได้ฉายาว่า "จำนวนที่อตรรกยะที่สุด"

The golden spiral: each square has a quarter-circle arc forming the nautilus curve

Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.

φ สอดคล้องกับ φ² = φ + 1 ดังนั้น φ = 1 + 1/φ เมื่อแทนค่าซ้ำ ๆ: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ที่เป็น 1 ทั้งหมดนี้เป็นทั้งนิยามและเหตุผลของสถานะ "อตรรกยะที่สุด" ของมัน คำนวณได้เต็มความละเอียด: 1.61803398874989484820…

ลำดับฟีโบนัชชี → มุมทอง → อัตราส่วนเงิน → เศษส่วนต่อเนื่อง → จำนวนอตรรกยะ →

The pentagon: every diagonal is exactly φ times the side

In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.

ข้อเท็จจริงสำคัญเกี่ยวกับอัตราส่วนทอง φ

อัตราส่วนทอง phi ประมาณ 1.61803398874989484820 มันคือคำตอบที่เป็นบวกของ x² = x + 1 Phi เป็นจำนวนอตรรกยะ เชิงพีชคณิต และเป็นอัตราส่วนลิมิตของจำนวนฟีโบนัชชีที่ติดกัน มันปรากฏในรูปห้าเหลี่ยมปกติและรูปทรงยี่สิบหน้า, ในเกลียวเมล็ดดอกทานตะวัน, และในสัดส่วนที่ศึกษากันมาตั้งแต่กรีกโบราณ เศษส่วนต่อเนื่อง [1; 1, 1, 1, ...] ทำให้มันเป็นจำนวนจริงที่ประมาณด้วยเศษส่วนได้ยากที่สุด ซึ่งเป็นเหตุผลที่การเรียงตัวของใบใช้มุมทองที่ได้มาจาก phi

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

จำนวนฟีโบนัชชี มุมทอง อัตราส่วนเงิน

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

✓

💻Computer Sci

–

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

✓

🏛Architecture

✓

♪Music

✓

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

How does phi appear in plants?

tap · space

1 / 10

สร้างหลักของอัตราส่วนทอง φ

φ has no final digit

อัตราส่วนทอง φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the สูตรกำลังสอง.

φ = (1 + √5) / 2

พร้อมเล่นหรือยัง?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

เล่นตอนนี้ - ฟรี

ไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.