ค่าคงตัวคินชินคืออะไร?
จำนวนจริงทุกตัวมีเศษส่วนต่อเนื่อง: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)) จำนวนเต็ม a₁, a₂, a₃, … คือผลหารย่อย สำหรับ π พวกมันคือ 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… สำหรับ √2 พวกมันคือ 1; 2, 2, 2, 2, 2… (เป็นคาบ เป็น 2 ทั้งหมด) คินชินพิสูจน์ในปี 1934 ว่าสำหรับจำนวนจริงเกือบทุกตัว ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของผลหารย่อยลู่เข้าสู่ค่าคงตัวเดียวกัน K₀ ≈ 2.68545
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). The partial quotient 1 appears in ~41% of all continued fraction expansions of random real numbers.
สูตรของ K₀ คือ K₀ = ∏(k=1 ถึง ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)) ซึ่งลู่เข้าช้ามาก ทฤษฎีบทของคินชินเป็นตัวอย่างของผลลัพธ์ที่เป็นจริงสำหรับจำนวนเกือบทุกตัว ทว่าไม่สามารถยืนยันได้สำหรับค่าคงตัวเฉพาะแม้แต่ตัวเดียว เราไม่สามารถแสดงตัวอย่างที่ยืนยันแล้วของจำนวนที่เป็นไปตามมันได้เลย
By k=3 over two-thirds of all partial quotients are accounted for. The sequence converges slowly toward 1.
ข้อเท็จจริงที่ว่า 1 ครอบงำ (41.5%) อธิบายว่าทำไม K₀ ≈ 2.685 จึงน้อยกว่า 3: ค่าที่เล็กดึงค่าเฉลี่ยเรขาคณิตลง หากหลักทุกตัวตั้งแต่ 1 ถึง 9 มีโอกาสเท่ากัน ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะเป็น (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4.15 การถ่วงน้ำหนักอย่างหนักไปทาง 1 ทำให้ K₀ เล็กลงอย่างมาก
ค่าคงตัวคินชิน K0 ≈ 2.68545 เป็นลิมิตสากล: สำหรับจำนวนจริงเกือบทุกตัว x = [a0; a1, a2, ...] ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของผลหารย่อย (a1*a2*...*an)^(1/n) ลู่เข้าสู่ K0 พิสูจน์โดยคินชินในปี 1934 แง่มุมที่โดดเด่นคือความเป็นสากล: จำนวนเกือบทุกตัวมีค่าเฉลี่ยเรขาคณิตนี้ร่วมกัน ทว่าผลลัพธ์ไม่สามารถยืนยันได้สำหรับค่าคงตัวที่รู้จักตัวใดอย่าง pi หรือ e คำถามว่า K0 เป็นจำนวนเชิงพีชคณิตหรืออดิศัยยังไม่มีคำตอบ
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์
