Apa itu Konstanta Khinchin?
Setiap bilangan real memiliki pecahan berlanjut: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Bilangan bulat a₁, a₂, a₃, … adalah hasil bagi parsial. Untuk π nilainya 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Untuk √2 nilainya 1; 2, 2, 2, 2, 2… (periodik, semuanya 2). Khinchin membuktikan pada tahun 1934 bahwa untuk hampir setiap bilangan real, rata-rata geometrik dari hasil bagi parsial ini konvergen ke konstanta yang sama, K₀ ≈ 2,68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). The partial quotient 1 appears in ~41% of all continued fraction expansions of random real numbers.
Rumus untuk K₀ adalah K₀ = ∏(k=1 hingga ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), yang konvergen sangat lambat. Teorema Khinchin adalah contoh hasil yang benar untuk hampir setiap bilangan, tetapi tidak dapat diverifikasi untuk satu konstanta tertentu pun. Kita belum bisa menunjukkan satu contoh eksplisit yang dipastikan mematuhinya.
By k=3 over two-thirds of all partial quotients are accounted for. The sequence converges slowly toward 1.
Fakta bahwa angka 1 mendominasi (41,5%) menjelaskan mengapa K₀ ≈ 2,685 lebih kecil dari 3: nilai-nilai kecil menarik rata-rata geometrik ke bawah. Jika semua digit dari 1 sampai 9 sama mungkin muncul, rata-rata geometriknya akan menjadi (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4,15. Bobot yang sangat besar pada angka 1 membuat K₀ jauh lebih kecil.
Konstanta Khinchin K0 ≈ 2,68545 adalah batas universal: untuk hampir setiap bilangan real x = [a0; a1, a2, ...], rata-rata geometrik dari hasil bagi parsial (a1*a2*...*an)^(1/n) konvergen ke K0. Dibuktikan oleh Khinchin pada tahun 1934. Hal yang paling mencolok adalah sifat universalnya: hampir semua bilangan berbagi rata-rata geometrik yang sama, tetapi hasil ini tidak dapat diverifikasi untuk satu konstanta terkenal pun seperti pi atau e. Apakah K0 bersifat aljabar atau transendental masih belum diketahui.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Main sekarang - gratisTanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.
