Τι είναι η σταθερά του Khinchin;
Κάθε πραγματικός αριθμός έχει ένα συνεχές κλάσμα: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Οι ακέραιοι a₁, a₂, a₃, … είναι τα μερικά πηλίκα. Για το π είναι 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Για το √2 είναι 1; 2, 2, 2, 2, 2… (περιοδικά, όλα 2). Ο Khinchin απέδειξε το 1934 ότι για σχεδόν κάθε πραγματικό αριθμό, ο γεωμετρικός μέσος των μερικών πηλίκων συγκλίνει στην ίδια σταθερά K₀ ≈ 2.68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). The partial quotient 1 appears in ~41% of all continued fraction expansions of random real numbers.
Ο τύπος για το K₀ είναι K₀ = ∏(k=1 έως ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), που συγκλίνει εξαιρετικά αργά. Το θεώρημα του Khinchin είναι ένα παράδειγμα αποτελέσματος που είναι αληθές για σχεδόν κάθε αριθμό, αλλά δεν μπορεί να επαληθευτεί για μία συγκεκριμένη σταθερά. Δεν μπορούμε να παρουσιάσουμε ούτε ένα επιβεβαιωμένο παράδειγμα αριθμού που να το υπακούει.
By k=3 over two-thirds of all partial quotients are accounted for. The sequence converges slowly toward 1.
Το γεγονός ότι το 1 κυριαρχεί (41.5%) εξηγεί γιατί το K₀ ≈ 2.685 είναι μικρότερο από 3: οι μικρές τιμές τραβούν τον γεωμετρικό μέσο προς τα κάτω. Αν όλα τα ψηφία από 1 έως 9 ήταν εξίσου πιθανά, ο γεωμετρικός μέσος θα ήταν (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4.15. Η ισχυρή στάθμιση προς το 1 κάνει το K₀ σημαντικά μικρότερο.
Η σταθερά του Khinchin K0 ≈ 2.68545 είναι ένα καθολικό όριο: για σχεδόν κάθε πραγματικό αριθμό x = [a0; a1, a2, ...], ο γεωμετρικός μέσος των μερικών πηλίκων (a1*a2*...*an)^(1/n) συγκλίνει στο K0. Αποδείχθηκε από τον Khinchin το 1934. Το εντυπωσιακό είναι η καθολικότητα: σχεδόν κάθε αριθμός μοιράζεται αυτόν τον γεωμετρικό μέσο, κι όμως το αποτέλεσμα δεν μπορεί να επαληθευτεί για καμία μεμονωμένη γνωστή σταθερά όπως το pi ή το e. Το αν το K0 είναι αλγεβρικό ή υπερβατικό είναι άγνωστο.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.
