Ce este constanta lui Khinchin?
Fiecare număr real are o fracție continuă: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Numerele întregi a₁, a₂, a₃, … sunt cocienții parțiali. Pentru π ei sunt 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Pentru √2 ei sunt 1; 2, 2, 2, 2, 2… (periodici, toți 2). Khinchin a demonstrat în 1934 că pentru aproape orice număr real, media geometrică a cocienților parțiali converge către aceeași constantă K₀ ≈ 2.68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). The partial quotient 1 appears in ~41% of all continued fraction expansions of random real numbers.
Formula pentru K₀ este K₀ = ∏(k=1 la ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), care converge extrem de lent. Teorema lui Khinchin este un exemplu de rezultat care este adevărat pentru aproape orice număr, dar care nu poate fi verificat pentru o singură constantă specifică. Nu putem prezenta o instanță confirmată a unui număr care o respectă.
By k=3 over two-thirds of all partial quotients are accounted for. The sequence converges slowly toward 1.
Faptul că 1 domină (41.5%) explică de ce K₀ ≈ 2.685 este mai mic decât 3: valorile mici trag media geometrică în jos. Dacă toate cifrele de la 1 la 9 ar fi la fel de probabile, media geometrică ar fi (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4.15. Ponderea mare spre 1 face ca K₀ să fie considerabil mai mic.
Constanta lui Khinchin K0 ≈ 2.68545 este o limită universală: pentru aproape orice număr real x = [a0; a1, a2, ...], media geometrică a cocienților parțiali (a1*a2*...*an)^(1/n) converge către K0. Demonstrată de Khinchin în 1934. Aspectul izbitor este universalitatea: aproape orice număr împărtășește această medie geometrică, dar rezultatul nu poate fi verificat pentru nicio constantă cunoscută precum pi sau e. Dacă K0 este algebric sau transcendent este necunoscut.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Joacă acum - e gratisFără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.
