Christoffer De Geer 20 มีนาคม 2569

ปริพันธ์เกาส์เซียนคืออะไร?

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π

√π ≈ 1.7724538509 บทพิสูจน์ใช้พิกัดเชิงขั้วในสองมิติ

ฟังก์ชัน e^(−x²) คือเส้นโค้งระฆัง: มันมียอดสูงสุดที่ 1 เมื่อ x = 0 และลดลงอย่างสมมาตรสู่ 0 ทั้งสองทิศทาง พื้นที่ใต้มันตลอดเส้นจำนวนจริงทั้งหมดเท่ากับ √π ≈ 1.7724 พอดี นี่น่าทึ่งมาก: e และ π ซึ่งมักพบในบริบทแยกจากกัน กลับมารวมกันในปริพันธ์ที่เรียบง่ายที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็น

Bell curve e^(−x²): area = √π

The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.

บทพิสูจน์เป็นหนึ่งในเทคนิคที่งดงามที่สุดของคณิตศาสตร์ ให้ I = ∫e^(−x²)dx คำนวณ I² โดยเขียนเป็นปริพันธ์สองชั้นเหนือ x และ y แล้วเปลี่ยนไปใช้พิกัดเชิงขั้ว r, θ ตัวถูกปริพันธ์กลายเป็น e^(−r²) และองค์ประกอบพื้นที่กลายเป็น r·dr·dθ ตัว r ทำให้ปริพันธ์เป็นแบบพื้นฐาน: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2 เมื่อคูณด้วย ∫₀^(2π) dθ = 2π จะได้ I² = π ดังนั้น I = √π

Normal distribution formula

f(x) = (1/σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/2σ²)

σ = standard deviation, μ = mean

The 1/√(2π) normalisation factor comes directly from the Gaussian integral: ∫e^(−x²)dx = √π.

การแจกแจงปกติ, ทฤษฎีบทลิมิตกลาง, ฟังก์ชันคลื่นควอนตัม (ที่ใช้กลุ่มคลื่นเกาส์เซียน), และการประมาณของสเตอร์ลิงสำหรับแฟกทอเรียล ล้วนตั้งอยู่บนปริพันธ์เดียวนี้ ค่า √π ปรากฏทุกที่ที่ e^(−x²) ถูกหาปริพันธ์ ซึ่งกลายเป็นเกือบทุกที่ในความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง

พาย (π) → จำนวนของออยเลอร์ e → การประมาณของสเตอร์ลิง → ผลคูณวอลลิส → ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส →

The squaring trick: ∫e^(−x²)dx = √π

I² = ∫∫ e^(−x²−y²) dx dy = ∫₀^∞ e^(−r²) 2πr dr = π

Step 1: Square I – convert to double integral over the plane

Step 2: Switch to polar coordinates (r, θ) – the θ integral gives 2π

Step 3: Substitute u = r² – the r integral gives 1/2. Therefore I² = π, so I = √π.

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

พาย e ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

ข้อเท็จจริงสำคัญเกี่ยวกับปริพันธ์เกาส์เซียน

ปริพันธ์เกาส์เซียน: ปริพันธ์จาก -infinity ถึง +infinity ของ e^(-x^2) dx = sqrt(pi) บทพิสูจน์อันงดงามยกกำลังสองปริพันธ์ แปลงเป็นพิกัดเชิงขั้ว แล้วประเมินมันอย่างแม่นยำ นี่คือการคำนวณสำคัญเบื้องหลังการแจกแจงปกติ: ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) เมื่อหาปริพันธ์ได้ 1 ฟังก์ชันเกาส์เซียนปรากฏในกลศาสตร์ควอนตัม, การแพร่ความร้อน, การประมาณของสเตอร์ลิง, และทฤษฎีบทลิมิตกลาง

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

ทฤษฎีที่มีชื่อเสียงใดที่พึ่งพาอาศัยอินทิกรัลเกาส์?

tap · space

1 / 10

พร้อมเล่นหรือยัง?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

เล่นตอนนี้ - ฟรี

ไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.