ما هو التكامل الغاوسي؟

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π

√π ≈ 1.7724538509. البرهان يستخدم الإحداثيات القطبية في بُعدين.

الدالة e^(−x²) هي منحنى الجرس: تبلغ ذروتها 1 عندما x = 0 وتنخفض بشكل متماثل نحو 0 في كلا الاتجاهين. المساحة تحتها عبر خط الأعداد الحقيقية بأكمله تساوي بالضبط √π ≈ 1.7724. هذا أمر مذهل: e و π اللذان يظهران عادةً في سياقات مختلفة يتحدان في أبسط تكامل في نظرية الاحتمالات.

منحنى الجرس e^(−x²): المساحة = √π

تكامل e^(−x²) على كل x يساوي √π ≈ 1.7725. هذا هو التكامل الغاوسي. جذره التربيعي مقسومًا على √(2π) يعطي منحنى التوزيع الطبيعي المعياري.

البرهان هو واحد من أكثر الحيل أناقةً في الرياضيات. ليكن I = ∫e^(−x²)dx. نحسب I² بكتابته كتكامل مزدوج على x و y، ثم ننتقل إلى الإحداثيات القطبية r, θ. تصبح الدالة المُكاملة e^(−r²) وعنصر المساحة يصبح r·dr·dθ. وجود r يجعل التكامل أوليًا: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. بالضرب في ∫₀^(2π) dθ = 2π نحصل على I² = π، إذن I = √π.

صيغة التوزيع الطبيعي

f(x) = (1/σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/2σ²)

σ = standard deviation, μ = mean

The 1/√(2π) normalisation factor comes directly from the Gaussian integral: ∫e^(−x²)dx = √π.

يعتمد التوزيع الطبيعي، ومبرهنة النهاية المركزية، ودوال الموجة الكمومية (التي تستخدم حزم موجية غاوسية)، وتقريب ستيرلنغ للمضروب، جميعها على هذا التكامل الواحد. تظهر القيمة √π أينما أُجري تكامل لـ e^(−x²)، وهو ما يتكرر في كل مكان تقريبًا في الاحتمالات المتصلة.

العدد باي (π) → العدد e (عدد أويلر) → تقريب ستيرلينغ → جداء واليس → المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل →

حيلة التربيع: ∫e^(−x²)dx = √π

I² = ∫∫ e^(−x²−y²) dx dy = ∫₀^∞ e^(−r²) 2πr dr = π

Step 1: Square I – convert to double integral over the plane

Step 2: Switch to polar coordinates (r, θ) – the θ integral gives 2π

Step 3: Substitute u = r² – the r integral gives 1/2. Therefore I² = π, so I = √π.

حقائق أساسية عن التكامل الغاوسي

التكامل الغاوسي: تكامل e^(-x^2) dx من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية = √π. البرهان الأنيق يربّع التكامل، ثم يحوّله إلى إحداثيات قطبية، ويحسبه بدقة. هذا هو الحساب الأساسي وراء التوزيع الطبيعي: كثافة الاحتمال (1/√(2π))·e^(-x²/2) تكاملها يساوي 1. تظهر الدالة الغاوسية في ميكانيكا الكم، وانتشار الحرارة، وتقريب ستيرلنغ، ومبرهنة النهاية المركزية.

يُستخدم في

∑رياضيات

✓

⚛فيزياء

✓

⚙هندسة

✓

🧬أحياء

–

💻علوم حاسوب

–

📊إحصاء

✓

📈تمويل

–

🎨فنون

–

🏛عمارة

–

♪موسيقى

–

🔐تشفير

–

🌌فلك

–

⚗كيمياء

–

🦉فلسفة

–

🗺جغرافيا

–

🌿بيئة

–

هل تريد اختبار معرفتك؟

سؤال

ما هو تكامل غاوس المعمّم؟

انقر · مسافة

1 / 10

هل أنت مستعد للعب؟

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

العب الآن - مجاناً

لا حاجة لحساب. يعمل على أي جهاز.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.