Christoffer De Geer 20 martie 2026

Ce este integrala Gaussiană?

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π

√π ≈ 1.7724538509. Demonstrația folosește coordonate polare în 2D.

Funcția e^(−x²) este clopotul lui Gauss: atinge vârful la 1 când x = 0 și scade simetric la 0 în ambele direcții. Aria de sub ea pe întreaga dreaptă reală este egală exact cu √π ≈ 1.7724. Acest lucru este remarcabil: e și π, întâlnite de obicei în contexte separate, sunt unite în cea mai simplă integrală a teoriei probabilităților.

Bell curve e^(−x²): area = √π

The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.

Demonstrația este unul dintre cele mai elegante trucuri din matematică. Fie I = ∫e^(−x²)dx. Calculează I² scriindu-l ca o integrală dublă peste x și y, apoi trece la coordonate polare r, θ. Integrandul devine e^(−r²), iar elementul de arie devine r·dr·dθ. r face integrala elementară: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Înmulțind cu ∫₀^(2π) dθ = 2π obținem I² = π, deci I = √π.

Normal distribution formula

f(x) = (1/σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/2σ²)

σ = standard deviation, μ = mean

The 1/√(2π) normalisation factor comes directly from the Gaussian integral: ∫e^(−x²)dx = √π.

Distribuția normală, teorema limită centrală, funcțiile de undă cuantice (care folosesc pachete de undă Gaussiene) și aproximarea lui Stirling pentru factoriale se bazează toate pe această singură integrală. Valoarea √π apare oriunde se integrează e^(−x²), ceea ce se dovedește a fi aproape peste tot în probabilitatea continuă.

Pi (π) → Numărul lui Euler e → Aproximarea lui Stirling → Produsul lui Wallis → Teorema fundamentală a calculului →

The squaring trick: ∫e^(−x²)dx = √π

I² = ∫∫ e^(−x²−y²) dx dy = ∫₀^∞ e^(−r²) 2πr dr = π

Step 1: Square I – convert to double integral over the plane

Step 2: Switch to polar coordinates (r, θ) – the θ integral gives 2π

Step 3: Substitute u = r² – the r integral gives 1/2. Therefore I² = π, so I = √π.

Subiecte conexe

Pi E Teorema fundamentală a calculului

Date cheie despre integrala Gaussiană

Integrala Gaussiană: integrala de la -infinit la +infinit din e^(-x^2) dx = sqrt(pi). Demonstrația elegantă ridică integrala la pătrat, o convertește în coordonate polare și o evaluează exact. Acesta este calculul cheie din spatele distribuției normale: densitatea de probabilitate (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) se integrează la 1. Funcția Gaussiană apare în mecanica cuantică, difuzia căldurii, aproximarea lui Stirling și teorema limită centrală.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Care este integrala gaussiană n-dimensională?

tap · space

1 / 10

Gata de joc?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Joacă acum - e gratis

Fără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.