Christoffer De Geer 20. března 2026

Co je gaussův integrál?

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π

√π ≈ 1.7724538509. Důkaz používá polární souřadnice v 2D.

Funkce e^(−x²) je zvonivá křivka: dosahuje maxima 1 při x = 0 a symetricky klesá k 0 v obou směrech. Obsah pod ní na celé reálné ose se rovná přesně √π ≈ 1,7724. To je pozoruhodné: e a π, které se obvykle vyskytují v odlišných kontextech, jsou spojeny v nejjednodušším integrálu teorie pravděpodobnosti.

Bell curve e^(−x²): area = √π

The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.

Důkaz je jedním z nej elegantnějších triků matematiky. Nechť I = ∫e^(−x²)dx. Vypočítáme I² tak, že ho zapíšeme jako dvojitý integrál podle x a y, a pak přepneme na polární souřadnice r, θ. Integrand se stane e^(−r²) a plochový element se stane r·dr·dθ. Faktor r zrádí integrál elementárním: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Vynásobením ∫₀^(2π) dθ = 2π dostaneme I² = π, tedy I = √π.

Normal distribution formula

f(x) = (1/σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/2σ²)

σ = standard deviation, μ = mean

The 1/√(2π) normalisation factor comes directly from the Gaussian integral: ∫e^(−x²)dx = √π.

Normální rozdělení, centrální limitní věta, kvantové vlnové funkce (které používají gaussovské vlnové balíčky) a Stirlingův odhad pro faktoriály vycházejí všechny z tohoto jediného integrálu. Hodnota √π se objevuje kdekoli se integruje e^(−x²), což se ukazuje být skoro všude v kontinuální pravděpodobnosti.

Pi (π) → Eulerovo číslo e → Stirlingův odhad → Wallisův produkt → Základní věta diferenciálního a integrálního počtu →

The squaring trick: ∫e^(−x²)dx = √π

I² = ∫∫ e^(−x²−y²) dx dy = ∫₀^∞ e^(−r²) 2πr dr = π

Step 1: Square I - convert to double integral over the plane

Step 2: Switch to polar coordinates (r, θ) - the θ integral gives 2π

Step 3: Substitute u = r² - the r integral gives 1/2. Therefore I² = π, so I = √π.

Související témata

Pi E Základní věta kalkulu

Klíčové fakta o gaussově integrálu

Gaussův integrál: integrál z mínus nekonečna do plus nekonečna z e^(-x^2) dx = sqrt(pi). Elegantní důkaz umocňuje integrál na druhou, převede na polární souřadnice a vyhodnotí ho přesně. Toto je klíčový výpočet za normálním rozdělením: hustota pravděpodobnosti (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) se integruje na 1. Gaussovská funkce se vyskytuje v kvantové mechanice, tepelné difuzi, Stirlingově odhadu a centrální limitní větě.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Jak Feynman používal varianty Gaussova integrálu ve fyzice?

tap · space

1 / 10

Připraveni hrát?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Hrát nyní - zdarma

Bez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.