Christoffer De Geer 20 березня 2026 р.

Що таке інтеграл Гаусса?

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π

√π ≈ 1.7724538509. Доведення використовує полярні координати у 2D.

Функція e^(−x²) - це дзвоноподібна крива: вона досягає піку 1 при x = 0 і симетрично спадає до 0 в обидва боки. Площа під нею вздовж усієї дійсної прямої дорівнює точно √π ≈ 1.7724. Це дивовижно: e та π, які зазвичай трапляються в окремих контекстах, поєднані в найпростішому інтегралі теорії ймовірностей.

Bell curve e^(−x²): area = √π

The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.

Доведення - один із найелегантніших трюків математики. Нехай I = ∫e^(−x²)dx. Обчисліть I², записавши його як подвійний інтеграл за x та y, потім перейдіть до полярних координат r, θ. Підінтегральний вираз стає e^(−r²), а елемент площі стає r·dr·dθ. Множник r робить інтеграл елементарним: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Множення на ∫₀^(2π) dθ = 2π дає I² = π, тож I = √π.

Normal distribution formula

f(x) = (1/σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/2σ²)

σ = standard deviation, μ = mean

The 1/√(2π) normalisation factor comes directly from the Gaussian integral: ∫e^(−x²)dx = √π.

Нормальний розподіл, центральна гранична теорема, квантові хвильові функції (які використовують гаусові хвильові пакети) та наближення Стірлінга для факторіалів - усе спирається на цей єдиний інтеграл. Значення √π з'являється всюди, де інтегрується e^(−x²), а це, як виявляється, майже всюди в неперервній імовірності.

Пі (π) → Число Ейлера e → Наближення Стірлінга → Добуток Валліса → Основна теорема аналізу →

The squaring trick: ∫e^(−x²)dx = √π

I² = ∫∫ e^(−x²−y²) dx dy = ∫₀^∞ e^(−r²) 2πr dr = π

Step 1: Square I – convert to double integral over the plane

Step 2: Switch to polar coordinates (r, θ) – the θ integral gives 2π

Step 3: Substitute u = r² – the r integral gives 1/2. Therefore I² = π, so I = √π.

Пов'язані теми

Пі E Основна теорема аналізу

Ключові факти про інтеграл Гаусса

Інтеграл Гаусса: інтеграл від -нескінченності до +нескінченності від e^(-x^2) dx = sqrt(pi). Елегантне доведення підносить інтеграл до квадрата, переходить до полярних координат і обчислює його точно. Це ключове обчислення за нормальним розподілом: густина ймовірності (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) інтегрується в 1. Функція Гаусса з'являється у квантовій механіці, дифузії тепла, наближенні Стірлінга та центральній граничній теоремі.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Чому у гаусівському інтегралі з’являється π?

tap · space

1 / 10

Готові грати?

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Грати зараз - безкоштовно

Без реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.