Christoffer De Geer 20 Μαρτίου 2026

Τι είναι το ολοκλήρωμα Gauss;

∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π

√π ≈ 1.7724538509. Η απόδειξη χρησιμοποιεί πολικές συντεταγμένες σε 2 διαστάσεις.

Η συνάρτηση e^(−x²) είναι η καμπύλη καμπάνας: κορυφώνεται στο 1 όταν x = 0 και πέφτει συμμετρικά στο 0 και προς τις δύο κατευθύνσεις. Το εμβαδόν κάτω από αυτήν σε όλη την πραγματική ευθεία ισούται ακριβώς με √π ≈ 1.7724. Αυτό είναι αξιοσημείωτο: το e και το π, που συνήθως συναντώνται σε ξεχωριστά πλαίσια, ενώνονται στο απλούστερο ολοκλήρωμα της θεωρίας πιθανοτήτων.

Bell curve e^(−x²): area = √π

The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.

Η απόδειξη είναι ένα από τα πιο κομψά κόλπα των μαθηματικών. Έστω I = ∫e^(−x²)dx. Υπολογίστε το I² γράφοντάς το ως διπλό ολοκλήρωμα ως προς x και y, και μετά μεταβείτε σε πολικές συντεταγμένες r, θ. Η ολοκληρωτέα ποσότητα γίνεται e^(−r²) και το στοιχείο εμβαδού γίνεται r·dr·dθ. Το r κάνει το ολοκλήρωμα στοιχειώδες: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Πολλαπλασιάζοντας με ∫₀^(2π) dθ = 2π δίνει I² = π, οπότε I = √π.

Normal distribution formula

f(x) = (1/σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/2σ²)

σ = standard deviation, μ = mean

The 1/√(2π) normalisation factor comes directly from the Gaussian integral: ∫e^(−x²)dx = √π.

Η κανονική κατανομή, το κεντρικό οριακό θεώρημα, οι κβαντικές κυματοσυναρτήσεις (που χρησιμοποιούν γκαουσιανά κυματοπακέτα) και η προσέγγιση του Stirling για τα παραγοντικά βασίζονται όλα σε αυτό το μοναδικό ολοκλήρωμα. Η τιμή √π εμφανίζεται όπου ολοκληρώνεται το e^(−x²), που αποδεικνύεται ότι είναι σχεδόν παντού στις συνεχείς πιθανότητες.

Πι (π) → Αριθμός του Euler e → Προσέγγιση του Stirling → Γινόμενο του Wallis → Θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού →

The squaring trick: ∫e^(−x²)dx = √π

I² = ∫∫ e^(−x²−y²) dx dy = ∫₀^∞ e^(−r²) 2πr dr = π

Step 1: Square I – convert to double integral over the plane

Step 2: Switch to polar coordinates (r, θ) – the θ integral gives 2π

Step 3: Substitute u = r² – the r integral gives 1/2. Therefore I² = π, so I = √π.

Σχετικά θέματα

Πι E Θεμελιώδες θεώρημα λογισμού

Βασικά στοιχεία για το ολοκλήρωμα Gauss

Το ολοκλήρωμα Gauss: το ολοκλήρωμα από -άπειρο έως +άπειρο του e^(-x^2) dx = sqrt(pi). Η κομψή απόδειξη υψώνει το ολοκλήρωμα στο τετράγωνο, μετατρέπει σε πολικές συντεταγμένες και το υπολογίζει ακριβώς. Αυτός είναι ο βασικός υπολογισμός πίσω από την κανονική κατανομή: η πυκνότητα πιθανότητας (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) ολοκληρώνεται στο 1. Η γκαουσιανή συνάρτηση εμφανίζεται στην κβαντομηχανική, στη διάχυση θερμότητας, στην προσέγγιση του Stirling και στο κεντρικό οριακό θεώρημα.

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

✓

⚙Engineering

✓

🧬Biology

–

💻Computer Sci

–

📊Statistics

✓

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

–

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

Πώς αξιολογείται το ολοκλήρωμα Gauss;

tap · space

1 / 10

Έτοιμοι να παίξετε;

Pi

Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method

Παίξτε τώρα - δωρεάν

Χωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.

Topic roundups

#memoryAll memory gamesHold a sequence, grid, or list in working memory and reproduce it under pressure.#numbersAll numbers gamesArithmetic, ratios, units, and number sense in short timed rounds.#sequenceAll sequence gamesReproduce or extend an ordered string of items in the right order.