황금비 (φ)란 무엇인가?
φ(파이)는 x² = x + 1의 양의 해다. 이 방정식은 기하학적 의미를 갖는다: 선분을 나누어 전체 대 큰 부분의 비율이 큰 부분 대 작은 부분의 비율과 같게 하면, 그 비율이 φ다. 이런 자기유사 성질을 가진 수는 φ뿐이다.
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
황금비는 정오각형과 별 모양에 나타나는데, 대각선이 서로 황금비로 교차한다. 모든 피보나치 수를 이전 수로 나누면 φ에 수렴한다. 연분수 [1; 1, 1, 1, …]은 가장 단순한 무한 연분수다: 모두 1. 이것이 φ를 분수로 근사하기 가장 어려운 수로 만들어, 가장 무리적인 수라는 칭호를 얻게 한다.
황금 직사각형에서 정사각형을 잘라낸다. 남은 조각은 1/φ만큼 작은 또 다른 황금 직사각형이다. 영원히 반복. 호는 조개와 은하에서 보이는 황금 나선을 그린다.
φ는 φ² = φ + 1을 만족하므로 φ = 1 + 1/φ. 반복 대입하면: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). 모두 1인 이 무한 연분수는 정의이자 가장 무리적인 지위의 이유다. 정밀 계산값: 1.61803398874989484820…
변의 길이가 1인 정오각형에서 모든 대각선의 길이는 φ ≈ 1.618이다. 대각선들은 서로를 황금비로 나눈다. 다섯 대각선을 모두 그리면 오각별이 되며, 그 자체가 황금 비례로 가득하다.
황금비 φ는 약 1.61803398874989484820이다. x² = x + 1의 양의 해다. φ는 무리수이며, 대수적이고, 연속 피보나치 수의 극한 비율이다. 정오각형과 정이십면체, 해바라기 씨 나선, 그리고 고대 그리스 이후 연구된 비례에 나타난다. 연분수 [1; 1, 1, 1, ...]은 분수로 가장 근사하기 어려운 실수로 만들며, 이것이 엽서열이 φ에서 파생된 황금각을 사용하는 이유다.
Golden Ratio φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the quadratic formula.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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