Cos'è il Rapporto Aureo (φ)?
φ (phi) è la soluzione positiva di x² = x + 1. Questa equazione ha un significato geometrico: se dividi un segmento in modo che il rapporto tra il tutto e la parte maggiore sia uguale al rapporto tra la parte maggiore e la minore, quel rapporto è φ. Nessun altro numero ha questa proprietà di autosimilarità.
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
Il rapporto aureo appare nel pentagono regolare e nel pentagramma, dove le diagonali si intersecano nel rapporto aureo. Ogni numero di Fibonacci diviso per il precedente si avvicina a φ. La frazione continua [1; 1, 1, 1, …] è la più semplice frazione continua infinita: tutti 1. Questo rende φ il numero più difficile da approssimare con frazioni, guadagnandosi il titolo di "numero più irrazionale".
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
φ soddisfa φ² = φ + 1, quindi φ = 1 + 1/φ. Sostituendo ripetutamente: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Questa frazione continua infinita di tutti 1 è sia la definizione che la ragione del suo status di "più irrazionale". Calcolato a piena precisione: 1.61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
Il rapporto aureo phi è approssimativamente 1.61803398874989484820. È la soluzione positiva di x² = x + 1. Phi è irrazionale, algebrico, e il rapporto limite dei numeri di Fibonacci consecutivi. Appare nel pentagono regolare e nell'icosaedro, nelle spirali dei semi di girasole, e nelle proporzioni studiate sin dall'antica Grecia. La sua frazione continua [1; 1, 1, 1, ...] lo rende il numero reale più difficile da approssimare con frazioni, ed è per questo che la fillotassi usa l'angolo aureo derivato da phi.
Rapporto Aureo φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the formula quadratica.
Pi
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