Что такое золотое сечение (φ)?
φ, читается «фи», – положительное решение уравнения x² = x + 1. У этого уравнения есть геометрический смысл: если разделить отрезок так, что весь отрезок относится к большей части так же, как большая часть к меньшей, то это отношение равно φ. Никакое другое число не обладает именно такой самоподобностью.
| Пара Фибоначчи | Отношение | Расстояние до φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| → ∞ | 1,61803… | 0 |
Золотое сечение появляется в правильном пятиугольнике и пентаграмме, где диагонали делят друг друга в отношении φ. Любое число Фибоначчи, делённое на предыдущее, стремится к φ. Цепная дробь [1; 1, 1, 1, …] – самая простая бесконечная цепная дробь: она состоит только из единиц. Поэтому φ – число, которое труднее всего хорошо приблизить обыкновенными дробями, и его часто называют «самым иррациональным» числом.
Если из золотого прямоугольника вырезать квадрат, остаётся меньший золотой прямоугольник, уменьшенный в 1/φ раза. Повторяя это бесконечно, дуга образует золотую спираль, знакомую по раковинам и галактикам.
φ удовлетворяет равенству φ² = φ + 1, а значит и φ = 1 + 1/φ. Подставляя это снова и снова, получаем φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Эта бесконечная цепная дробь из одних единиц одновременно и определяет φ, и объясняет его репутацию «самого иррационального» числа. Полное значение: 1,61803398874989484820…
В правильном пятиугольнике со стороной 1 каждая диагональ имеет длину φ ≈ 1,618. Кроме того, диагонали делят друг друга в золотом отношении. Если провести все пять диагоналей, получится пентаграмма, целиком наполненная золотыми пропорциями.
Золотое сечение φ приблизительно равно 1,61803398874989484820. Это положительное решение уравнения x² = x + 1. φ иррационально, алгебраично и является пределом отношений соседних чисел Фибоначчи. Оно появляется в правильном пятиугольнике и икосаэдре, в спиральных рисунках семян подсолнуха и в пропорциях, которые изучаются со времён античности. Его цепная дробь [1; 1, 1, 1, ...] делает его числом, которое хуже всего приближается рациональными дробями.
Golden Ratio φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the quadratic formula.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
Играть сейчас - бесплатноБез регистрации. Работает на любом устройстве.
