ln 2（2の自然対数）とは？
ln 2 は 2 の自然対数であり、e をどの冪まで上げれば 2 になるかを表す数である。幾何学的には、x = 1 から x = 2 までの曲線 y = 1/x の下の面積に等しい。数値的には、2.71828… を 0.69314… 乗すると正確に 2 になる。
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931。これが自然対数の定義であり、ln(a) は 1 から a までの 1/x の下の面積である。
ln 2 は半減期の定数である。一定の割合で半減する量は N(t) = N₀ · e^(-λt) を満たす。半減期は t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ となる。これは放射性崩壊、血中からの薬物の消失、コンデンサーの放電、コーヒーの冷却などに現れる。
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … は ln 2 ≈ 0.6931 に収束し、その極限のまわりを上下に振動する。収束は遅く、1 項おきに極限を行き過ぎる。
ln 2 は超越数である（リンダマン＝ワイエルシュトラス、1885年）。情報理論ではナットとビットの変換に現れ、1 ビット = ln(2) ナット ≈ 0.693 ナットである。級数 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ はちょうど ln 2 に収束する。値の冒頭は 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½)。ln 2 ≈ 0.693 は崩壊定数である。半減期 1 回で 50% が残り、10 回で 0.1% だけが残る。
2 の自然対数は約 0.69314718055994530941 である。無理数であり超越数でもある。ln 2 は、双曲線 y = 1/x の x = 1 から x = 2 までの下の面積に等しい。倍化と半減の法則を支配し、成長率 r の量が 2 倍になる時間は ln(2)/r である。情報理論では 1 ビットの情報量は ln 2 ナットに等しい。計算機科学では、n 個の値を表すのに必要な2進桁数は log₂(n) = ln(n)/ln(2) で与えられる。
Natural Log of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the alternating harmonic series.
Pi
Memorize pi, e, and 38 mathematical constants using the numpad path method
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